Polynomes

[Kolis]

@aviateur
Ma réponse était destinée à @pseuda qui a déclaré le théorème faux.
J'ai rajouté une petite parenthèse concernant le pseudo contre exemple que tu as fourni plus tôt en signalant que si tu supposes la fonction déjà définie en la borne inférieure (ce qui n'est pas le cas de ce que j'ai écrit) il faut écrire le théorème avec "le prolongement de la restriction" etc...)

Je répète que tu lis ce que tu veux sauf que dans mon énoncé je prends une fonction non définie en et il suffit de prendre la restriction de "ta" fonction sur le bon intervalle pour pouvoir appliquer le théorème énoncé. Ce théorème est donc utilisable en l'état.

si j'avais écrit directement :
Soit définie sur etc... Alors on peut prolonger la restriction de à en etc...
cela aurait soulevé quelques questions, n'est-il-pas ?

Quant à savoir si ce que j'ai proposé est plus ou moins adapté que ta méthode au problème posé, cela s'appelle "sodomiser les diptères".

[Pseuda]

Quand une fonction est dérivable sur et que admet une limite finie en alors se prolonge par continuité en (à droite), le prolongement est dérivable et la dérivée à droite en égale à la limite.

La définition et continuité de la fonction en n'est pas indispensable.
Toutefois, il faut bien lire ce que j'ai écrit : je prends une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ouvert (avec votre exemple, ou celui de @aviateur, il faudrait écrire : la restriction de à l'intervalle ouvert se prolonge en la borne inférieure, à droite, en une fonction dérivable, donc forcément continue).

Bonjour,

Il ne faut justement pas que soit définie en , pour parler d'un prolongement par continuité de en . Il aurait donc fallu écrire : "Quand une fonction est définie et dérivable sur ". Ou bien en effet : "la restriction de à l'intervalle ouvert". Parce que "dérivable sur ", on ne sait pas ce qu'il en est en , et on se pose tout un tas de questions inutiles.

Si est définie en , et que la limite de en est différente de , ce théorème écrit tel quel, est faux, ou plutôt, n'a pas de sens.

[c1m2l3e]

Est-ce que quelqu'un pourrait répondre à ma question s'il vous plait?

[Pseuda]

Est-ce qu'on peut dire que vu que f s'écrit sous la forme d'une somme allant jusqu’au rang n, f admet un DL à tout ordre?

Bonjour,

Oui bien sûr, si est quelconque. Par contre, tu peux arranger un peu ton DL.

[c1m2l3e]

Comment ça l'arranger?

[Pseuda]

@aviateur t'a dit comment : le carré d'une racine carrée ...

[aviateur]

@Kolis Il ne faut pas de malentendu. J'ai bien compris où tu voulais en venir et il faut que l'on soit d'accord.
On fait pas la même chose. Ce que tu proposes je le sais bien mais simplement il y a un ajustement à faire dans les formes et puis c'est tout.

[c1m2l3e]

Donc j'ai ça:
?

du coup f admet un développement limité à tout ordre en 0?

[Pseuda]

Oui. @aviateur, je te rends la main.

[c1m2l3e]

D'accord merci,
Pourrais-je avoir une indication de la part de quelqu'un pour la question g) à présent?

[aviateur]

@pseuda j'ai des invités ce midi, donc je ne pourrai pas continuer. Merci si tu peux de t'occuper de @c1m13e

[Pseuda]

e) Donner des polynomes P1 et Q1 tels que : xf''(x) = P1(x)f(x) + Q1(x)f'(x)
J'ai trouvé P1 = -1 et Q1 = -2

g) Montrer l'existence de suites (Pn) et (Qn) où n>=1 telles que x^nf(n+1)(x) = Pn(x)f(x) + Qn(x)f'(x)
Peut-être par récurrence mais je n'arrive pas à faire l'hérédité

Ta réponse à e) me semble fausse. Il y a du 1/4 dans f''(x), tandis qu'il n'y en a pas dans f et il y a du 1/2 dans f'.

Pour la g), il faut faire une récurrence sur n.

[c1m2l3e]

J'ai refait mon calcul et j'ai trouvé:
P1(x) =-1/4 et Q1(x) = -1/2

Pour la g), je me doute que c'est une récurrence mais comme je l'ai dit, je bloque sur l'hérédité, je n'arrive pas à trouver comment faire

[Pseuda]

Pour l'hérédité, on fait comme d'habitude, on suppose que la relation est vraie à l'ordre n :
"il existe deux polynômes Pn et Qn tels que x^nf(n+1)(x) = Pn(x)f(x) + Qn(x)f'(x) pour tout x >=0"

On dérive la relation à droite et à gauche (dire pourquoi on peut le faire, cela fait partie de la récurrence), et tu dois en tirer une relation pour f^(n+2)(x), avec deux polynômes (à déterminer) Pn+1 et Qn+1 (je n'ai pas fait, mais n'hésite pas à revenir si tu n'y arrives pas).

[c1m2l3e]

D'accord je vais essayer comme vous avez dit.
Est-ce que la f) vous semble juste?

[Pseuda]

Je vais regarder.

[Pseuda]

C'est bon pour la f).

[c1m2l3e]

D'accord merci!
Pour la g), j'ai fait dérivé donc j'ai ça:


Le problème c'est que je ne peux pas remplacer les et si?

[Pseuda]

C'est pas la peine de remplacer et , ce sont des polynômes. D'ailleurs, les remplacer par quoi ? Ce qu'il faut, c'est qu'il n'y ait plus que du , du et des polynômes dans l'expression de .

Il faut donc repiquer la formule pour et , et les remplacer dans ton expression. Pour simplifier les calculs, il faut penser à multiplier par des deux côtés avant de le faire.

[Pseuda]

Avant de dériver, on peut commencer par dire pourquoi on peut le faire, mais l'énoncé ne le demande pas.