Polynomes

[Kolis]

Bonjour !
Je pense que vous compliquez en "revenant à la définition".
Quand une fonction est dérivable sur et que admet une limite finie en alors se prolonge par continuité en (à droite), le prolongement est dérivable et la dérivée à droite en égale à la limite.
Résultat obtenu facilement par application de l'inégalité des accroissements finis et utilisation du critère de Cauchy pour l'existence d'une limite pour .

Par récurrence, si existe sur et a une limite finie en la fonction se prolonge en et est (plus exactement, son prolongement) dérivable fois sur .

[c1m2l3e]

Bonjour!
Ah oui effectivement ça semble peut-être un peu plus simple

[aviateur]

Bonjour @Kolis
Je ne pense pas que l'on complique les choses avec un raisonnement qui n'utilise que les bases.
Ensuite le résultat que tu utilises il faut que le poseur de questions en comprennent les tenants et aboutissants. Sur un forum c'est pas facile de passer par ce que tu proposes sinon que de passer sa journée.
Maintenant fait attention, ce que tu dis est faux: comme par exemple ]0,1[.
f(0)=1 , f(x)=sin(x) si x>0.
f'(x)=cos(x), x>0 . f'(x) tend vers 1 quand x tend vers 0+ .
Mon exemple entre dans tes hypothèses et tu dis alors " f se prolonge ... "(déjà ça coïnce car f ne demande pas à être prolongée ici.)
Et puis si on arrange un peu ce que tu dis (qui au demeurant n'est pas inintéressant) je ne vois pas en quoi on va gagner du temps car il faudra le démontrer (il faut voir le contexte de la question et de celui qui pose la question)

[c1m2l3e]

@aviateur, est ce que ma réponse pour la c) vous semble correcte?

[aviateur]

oui, c'est ça.

[c1m2l3e]

D'accord merci
Pouvez vous me donner des indications pour la suite?

[Kolis]

@aviateur !
Il n'y a rien de faux.
Tu n'as pas voulu lire ce qui est écrit.
Il y a se prolonge (d'accord, je n'ai pas mis par continuité) en et le prolongement obtenu est dérivable.
De plus tu dis "je prends avec " : c'est assez bizarre !

Maintenant tu peux "re"-démontrer des résultats dans tout exercice, je ne pense que cela fait gagner du temps. L'exercice étant manifestement de niveau "postbac" (mais je reconnais que je peux me tromper) le théorème proposé, à mon avis, fait partie du bagage sous le nom de "prolongement d'une fonction dérivable" en corollaire de l'inégalité des accroissements finis.

[aviateur]

Salut @Kolis
Je suis un peu d'accord avec toi mais seulement en partie.
Si tu regardes bien on ne fait que répondre à montrer que f est 2 fois dérivable en 0.
C'est presque la première question car la première question (montrer que f'' admet une limite qd x->0^+) est indépendante de cette deuxième question.
Qu'est ce que je conseille à @c1m2l3e: de montrer que f est d'abord dérivable en zéro (i.e f'(0) existe et donner sa valeur bien sûr) et puis même chose pour f''(0), uniquement à partir de la définition de la dérivabilité.
Evidemment avec l'aide du théorème des accroissement finis on peut montrer que f est dérivable en zéro
uniquement si on sait f'(x) admet une limite. On peut faire la même chose avec la f''(x) surement
Là où je suis d'accord avec toi c'est qu'on utilise des outils qu'un étudiant doit savoir à ce niveau et peut être sous la forme d'un théorème.
Mais je ne suis pas d'accord sur ce que tu dis ces deux façons de faire différentes et au demeurant je ne redémontre pas cette propriété. Ceci d'une part.
D'autre part en faisant bien les choses comme tu le dis on ne gagne rien du tout en efficacité. Donc on ne complique rien.
Maintenant je n'ai rien contre que l'on fasse comme tu dis, (ça se comprend sur ce que j'ai dit au dessus) mais par contre il faut bien le faire.
Ce que tu ne fais pas.
J'ai bien lu ce que tu as écrit, l'énoncé de ton théorème:

Quand une fonction est dérivable sur ]a, b[ et que f' admet une limite finie en a alors f se prolonge par continuité en (à droite), le prolongement est dérivable et la dérivée à droite en égale à la limite.

Si tu utilises cela ça coince et ça je crois que tu ne le comprends pas.
Au lieu de te donner un exemple je reprend l'exercice: On a
f(0) est bien défini est vaut 1. En lisant ton texte, tu en déduis que f est prolongeable par continuité à droite.
Et bien moi à ma connaissance quand on prolonge une fonction en x=0 c'est qu'a priori elle n'est pas définie en zéro. C'est pour cela qu'il faut arranger les choses. D'un point de vue pédagogique mais surtout mathématique
il faut d'abord (pour le poseur de question) d'abord énoncer la propriété qui colle avec l 'exercice.

[aviateur]

Rebonjour
Pour la question d) c'est indépendant de ce qui a été fait avant et c'est facile:
En effet pour n qcq fixé. Que sais tu sur l'existence et l'expression du DL en 0 à l'ordre n de la fonction
u---> cos (u)?

[c1m2l3e]

Cest la somme de 0 à n de (-1)^k *(x^2k/(2k)! )+o(x^2n)

[aviateur]

Alors tu remplaces u par

Il faut écrire en latex sinon j'ai l'impression de travailler dans l'à peu près et ce n'est comme cela que je fais des mathématiques.
Franchement ça prend 5 mn de savoir écrire racine, fraction, ....

[Pseuda]

Quand une fonction est dérivable sur et que admet une limite finie en alors se prolonge par continuité en (à droite), le prolongement est dérivable et la dérivée à droite en égale à la limite.

Bonjour,

Il me semble que c'est faux. Il faut supposer continue en , et alors c'est qui se prolonge par continuité en (théorème de la limite de la dérivée) :

http://www.bibmath.net/dico/index.php?a ... rivee.html

Ce théorème peut s'appliquer pour la fonction de l'énoncé, et pour sa dérivée.

[c1m2l3e]

Donc je remplace x par dans:
?

[aviateur]

Ok c'est bien (pour le latex)
Sauf que le Dl il faut le corriger est dire que c'est à l'ordre 2n

Donc ton égalité (ton DL si tu veux c'est au voisinage de x=0).
Maintenant tu poses en faisant remarquer (c'est important que qd x tend vers zéro u tend et il vient :

et ça montre que f admet un dL à l'ordre n au voisinage de u=0 (finalement à tout ordre)
Remarque non seulement on a l'existence mais on a l'expression du DL

[c1m2l3e]

Désolé mais je ne comprends pas pourquoi la somme est multipliée par cos(x) et comment on trouve l'expression de f(u)...

[aviateur]

Désolé mais je ne comprends pas pourquoi la somme est multipliée par cos(x) et comment on trouve l'expression de f(u)...

Bonjour Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.
"La somme est multipliée par cos(x) " ??

Comment on trouve l'expression de f(u)
donc si on poses
on a . Il suffit de remplacer x par

[c1m2l3e]

Donc on a:
f(x) = ?

[Kolis]

Quand une fonction est dérivable sur et que admet une limite finie en alors se prolonge par continuité en (à droite), le prolongement est dérivable et la dérivée à droite en égale à la limite.

Bonjour,

Il me semble que c'est faux. Il faut supposer continue en ...

La définition et continuité de la fonction en n'est pas indispensable.
Toutefois, il faut bien lire ce que j'ai écrit : je prends une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ouvert (avec votre exemple, ou celui de @aviateur, il faudrait écrire : la restriction de à l'intervalle ouvert se prolonge en la borne inférieure, à droite, en une fonction dérivable, donc forcément continue).
Comme vous mettez en doute ce théorème, voici une démonstration complète et détaillée:

.....................................
Soit (à valeurs dans un Banach ) dérivable sur et la limite de en .
Soit dérivable sur et .
Soit . Il existe tel que .
Par inégalité des accroissements, pour on a .
On en déduit : . La continuité uniforme de suffit pour prétendre à une limite pour (utilisation du critère de Cauchy).
Revenant à la relation , par limite pour , on aura .
Ce qui est bien : le prolongement de par est dérivable en à droite et la dérivée vaut

[aviateur]

Bonjour
@Kolis On ne met pas en doute le théorème mais l'utilisation du théorème. Ce n'est pas la même chose.
Donc tu aurais pu ne pas faire la démo et mais comprendre ce que je dis.

Réponse à @c1m... oui mais simplifie: et cela te donne un DL en zéro.

[c1m2l3e]

Est-ce qu'on peut dire que vu que f s'écrit sous la forme d'une somme allant jusqu’au rang n, f admet un DL à tout ordre?