Démonstration théorème de Bolzano Weierstrass

[mehdi-128]

Bonjour,

Je bloque sur certains points de l'idée générale de la démo. L'auteur écrit :

Considérons l'ensemble A des valeurs de la suite :
A est une partie non vide et majorée et minorée de donc A admet une borne inférieure et une borne supérieure .
Posons : et le centre du segment

L'un au moins des 2 segments et contient une infinité de termes de la suite

Je ne comprends pas pourquoi un des 2 segments contient une infinité de termes

Notons cet intervalle et son centre. On a évidemment :
On réitère le procédé ci-dessus avec le segment .
On construit alors une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0. D'après le théorème des segments emboîtés, l'intersection de tous ces segments est un réel l.

En outre par construction, chacun de ces segments contient au moins un terme de la suite
Je ne comprends pas pourquoi chacun des segments contient au moins un terme de la suite

[LB2]

Bonjour mehdi,

une question préliminaire : sais-tu énoncer et démontrer le théorème des segments emboîtés? Car c'est l'outil principal de cette démonstration. Il existe en effet plusieurs autres méthodes pour démontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass.

pour ta première question : suppose, en raisonnant par l'absurde, que la propriété bleue soit fausse. Alors chacun des 2 segments contient un nombre fini de termes. Mézalors?

pour ta deuxième question : par construction, chacun de ces segments contient une infinité de termes. Si tu en doutes, tu peux le démontrer par récurrence. Mézalors?

Cordialement

[samoufar]

Bonjour,

L'un au moins des 2 segments et contient une infinité de termes de la suite

Ici il ne faut pas raisonner en terme de valeurs prises par la suite mais en terme d'indices. C'est-à-dire que si les deux segments contenaient chacun un nombre fini de termes de la suite, alors l'ensemble des indices des éléments de la suite est lui-même fini, mais comme cet ensemble est exactement , je te laisse conclure...

En outre par construction, chacun de ces segments contient au moins un terme de la suite

Certes, s'ils en contiennent une infinité chacun, ils en contiennent au moins un chacun, qui peut le plus peut le moins. Mais en s'en tenant à ça on pourrait par exemple prendre le même terme pour deux intervalles différents. Or ce que l'on veut, c'est construire une sous-suite, donc prendre un terme différent pour chaque intervalle. Mathématiquement, on veut construire strictement croissante et vérifiant pour tout .

C'est là qu'intervient le mot "infinité", parce que si, par récurrence, on a choisi , alors on peut choisir tel que (si tu tiens à avoir une formule ça serait par exemple quelque chose du genre qui existe justement grâce au mot "infinité").

[mehdi-128]

Bonjour,

L'un au moins des 2 segments et contient une infinité de termes de la suite

Ici il ne faut pas raisonner en terme de valeurs prises par la suite mais en terme d'indices. C'est-à-dire que si les deux segments contenaient chacun un nombre fini de termes de la suite, alors l'ensemble des indices des éléments de la suite est lui-même fini, mais comme cet ensemble est exactement , je te laisse conclure...

En outre par construction, chacun de ces segments contient au moins un terme de la suite

Certes, s'ils en contiennent une infinité chacun, ils en contiennent au moins un chacun, qui peut le plus peut le moins. Mais en s'en tenant à ça on pourrait par exemple prendre le même terme pour deux intervalles différents. Or ce que l'on veut, c'est construire une sous-suite, donc prendre un terme différent pour chaque intervalle. Mathématiquement, on veut construire strictement croissante et vérifiant pour tout .

C'est là qu'intervient le mot "infinité", parce que si, par récurrence, on a choisi , alors on peut choisir tel que (si tu tiens à avoir une formule ça serait par exemple quelque chose du genre qui existe justement grâce au mot "infinité").

n'est pas dénombrable donc il contient une infinité de termes.
En gros le contraire de : "les 2 segments contiennent un nombre fini de termes"

est : "il existe un des 2 segments qui contient un nombre infini de termes" ?

Si c'est ça j'ai compris.

Pour la suite, j'avais pas saisi qu'on parlait que des intervalles qui contiennent une infinité de termes.

Par exemple je peux prendre

Ensuite pour on prend le plus petit indice qui appartient à tel que : etc ...

[mehdi-128]

Bonjour mehdi,

une question préliminaire : sais-tu énoncer et démontrer le théorème des segments emboîtés? Car c'est l'outil principal de cette démonstration. Il existe en effet plusieurs autres méthodes pour démontrer le théorème de Bolzano-Weierstrass.

pour ta première question : suppose, en raisonnant par l'absurde, que la propriété bleue soit fausse. Alors chacun des 2 segments contient un nombre fini de termes. Mézalors?

pour ta deuxième question : par construction, chacun de ces segments contient une infinité de termes. Si tu en doutes, tu peux le démontrer par récurrence. Mézalors?

Cordialement

Merci pour la réponse

Oui je connais le théorème des segments emboités et sa démo (assez facile et courte) je l'ai étudié 10 pages avant
Je répondrai sur l'autre fil, je me suis trompé en créant 2 fois le même sujet.

[LB2]

Attention grosse erreur, n'est pas FINI mais il est bien sûr dénombrable

[mehdi-128]

Attention grosse erreur, n'est pas FINI mais il est bien sûr dénombrable

Ah oui j'ai déjà oublié

J'ai vu la dénombrabilité dans un exo mais c'était pas dans le cours : en effet, il existe bien une bijection de sur . Il suffit d'associer à chaque entier lui-même.

[samoufar]

Bonjour,
Par exemple je peux prendre

Ensuite pour on prend le plus petit indice qui appartient à tel que : etc ...

Attention, les sont les indices, on construit une sous-suite . Donc on prendra plutôt par exemple (càd ).

Ensuite contient des termes de la suite et non des indices (on peut se ramener à l'ensemble des indices des éléments de , mais bon...). Et puis c'est plutôt . À ces précisions près c'est bon.

[mehdi-128]

D'accord

En effet, n'ayant pas habitué à manipuler les suites extraites je me mélange parfois les pinceaux.

Avant de travailler la démo j'ai une question :

Posons : et

Ainsi :

Je me demande il se passe quoi dans la démo si : ? Ca donne
Donc est constante donc convergente donc d'après un théorème elle converge.
Théorème : Tout suite extraite tend vers l admet pour limite.

Mon raisonnement est-il ok ?

Par la suite on prend des réels tels que :



Notons :
Cet ensemble contient les indices n pour lesquels
On a donc forcément

[samoufar]

Donc est constante donc convergente donc d'après un théorème elle converge.

Pas besoin de théorème pour dire qu'elle converge, la définition de la limite suffit largement.

Théorème : Tout suite extraite tend vers l admet pour limite.

En fait ce théorème est plutôt immédiat. Le sens => vient du fait que (u_n) est une suite extraite d'elle-même et le sens <= est, à mon sens, évident.

Par la suite on prend des réels tels que :



Notons :
Cet ensemble contient les indices n pour lesquels
On a donc forcément

Du moment que tu écris tu supposes implicitement que tu as . Sinon il s'agit effectivement de l'ensemble des indices que tu as mentionné. D'ailleurs il n'y a pas besoin de mettre à part le cas puisque rien ne change.

[mehdi-128]

Merci Samoufar mais la démo du sens direct du théorème prend une page dans mon livre : l'auteur n'utilise pas le fait que est une suite extraite d'elle-même

Il traite les cas : , et

Et on utilise une propriété de l'extractrice : les propriétés de convergence avec epsilon.

Mais ce n'est pas compliqué.

[mehdi-128]

Pour la suite : (il y a des parties que j'ai prises de mon livre et d'autres que j'ai faites moi-même)
J'aimerais savoir si j'ai pas fait d'erreur dans mon raisonnement.

On sait que est infini donc : est infini.
PS : ici je ne suis pas sûr pour la justification

Posons :

Comme :
L'un de ces 2 ensembles est infini. Distinguons 2 cas :
Si est infini alors on choisit et
On a construit :

Si est infini alors on choisit et
On a construit :

Le segment construit est tel que est infini.

Supposons que le segment construit tel que que soit infini.
Posons :
Or :
Si est infini alors on choisit et
On a construit :

Si est infini alors on choisit et
On a construit :

On a construit une suite de segments emboîtés :


A chaque itération, on divise l'intervalle par 2 ainsi :


car

D'après le théorème des segments emboîtés (analogie avec suites adjacentes) :



Maintenant il faut trouver une sous suite convergeant vers l :
NB : c'est la partie où je suis pas sûr du tout du raisonnement
Construisons une application strictement croissante de dans
On choisit :
On choisit : le plus petit entier de tel que
On choisit : le plus petit entier de cet intervalle tel que

On a construit une sous suite de la suite convergeant vers l.

Comme converge vers l alors sa sous suite est convergente et converge aussi vers l.

On a aussi :