Les deux nombres

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DIPPER
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Les deux nombres

par DIPPER » 16 Aoû 2018, 17:25

a et b sont deux nombres entiers positifs.
Parmi les quatre affirmations:
1) a + 1 est divisible par b ;
2) a = 2b + 5 ;
3) a + b est divisible par 3 ;
4) a + 7b est un nombre premier,
trois sont vraies et une seule est fausse.
Trouvez les nombres a et b

Il me semble que la 1) la 2) et la 4) soient vraies mais je n'en suis pas sur,merci de bien vouloir m'aider



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Ben314
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Re: Les deux nombres

par Ben314 » 16 Aoû 2018, 17:56

Salut,
Si la (2) était vrai, comment pourrait-on réécrire la (3) ?
Qu'en déduit tu ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

DIPPER
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Re: Les deux nombres

par DIPPER » 16 Aoû 2018, 18:00

la 3 est forcément fausse non ?

CAMI
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Re: Les deux nombres

par CAMI » 16 Aoû 2018, 18:24

La réponse est a = 17 et b = 2 , la 3 est forcément fausse

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Ben314
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Re: Les deux nombres

par Ben314 » 16 Aoû 2018, 18:38

Oui : si la (2) est vrai, alors la (3) est forcément fausse. Donc c'est soit la (2) soit la (3) qui est fausse.

- Si c'est la (3) alors (1) ; (2) et (4) sont vraies mais ça donne deux solutions : soit a=9 et b=2 , soit a=17 et b=6?

- Si c'est la (2) qui est fausse, alors avec (1) ; (3) et (4), j'ai bien l'impression qu'il y a des tas de solutions (voire même une infinité).
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

CAMI
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Re: Les deux nombres

par CAMI » 16 Aoû 2018, 19:29

En fait il n'y a que deux solutions possibles.
on doit avoir a+1 = k*b et a = 2*b+5 soit k*b = 2*b+6 ou b*(k-2) = 6
b doit être pair, 2 solutions k = 3, b = 6 ou k = 5, b = 2.
Pour b = 2, a = 9, 9+14 = 23 premier
Pour b = 6, a = 17, 17+42 = 59 premier
Pas d'autre solution

nodgim
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Re: Les deux nombres

par nodgim » 16 Aoû 2018, 20:02

Petite précision non encore dite jusqu'à maintenant :
les propositions (3) et (4) sont incompatibles car a + 7b = a + b modulo 3.

Au final, d'accord avec CAMI.

DIPPER
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Re: Les deux nombres

par DIPPER » 16 Aoû 2018, 21:15

n'y a t-il pas moyen de montrer que le 3) et la 4) sont incompatibles nodgim ? Je ne sais pas ce que veux dire modulo

CAMI
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Re: Les deux nombres

par CAMI » 16 Aoû 2018, 22:10

[quote="nodgim"]Petite précision non encore dite jusqu'à maintenant :
les propositions (3) et (4) sont incompatibles car a + 7b = a + b modulo 3.

Il veut dire que a+7b doit avoir le même reste si on divise a+7b par 3 que celui qu'on obtient en divisant a + b par 3, 6+17=23, 17+7*6=59, 23 et 59 divisés par 3 il reste 2 (ou -1), 2+9=11, 9+7*2=23, 11 et 23 divisés par 3 il reste 2 (ou -1).
Remarquez que a + b = 11 ou 23 sont aussi premiers 2 modulo 3 (ou -1 modulo 3).

DIPPER
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Re: Les deux nombres

par DIPPER » 17 Aoû 2018, 01:57

donc ici a + b ne peut pas être divisible par 3 si a+7b est premier ?
Et on le démontre en montrant que a+7b est divisible par trois ? (excusez moi si je ne saisi pas très bien )

beagle
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Re: Les deux nombres

par beagle » 17 Aoû 2018, 10:28

DIPPER a écrit:donc ici a + b ne peut pas être divisible par 3 si a+7b est premier ?
Et on le démontre en montrant que a+7b est divisible par trois ? (excusez moi si je ne saisi pas très bien )


bonjour,
a+7b = (a+b) + 6b
si a+b divisible par 3 alors a+7b aussi, donc pas premier
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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chan79
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Re: Les deux nombres

par chan79 » 17 Aoû 2018, 11:18

salut
Je commencerais par envisager 4 cas (4 façons de choisir la proposition fausse)
On voit vite qu'un seul cas peut éventuellement convenir: V, V, F, V pour 1), 2), 3) et 4).
Ensuite, 1 et 2 impliquent qu'il existe un entier k tel que: 2b+6=kb
b(k-2)=6
Valeurs possibles pour b: 1, 2 , 3 et 6.
On trouve les deux solutions déjà citées.

 

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