Limite de suite de rationnels

[mehdi-128]

Bonjour,

J'ai plusieurs problèmes de compréhension sur cet exemple donné dans mon livre.

Soient les suites définies par :

et

On montre que ces 2 suites sont strictement monotones pour et qu'elles sont adjacentes. Jusque là tout va bien.

Elles convergent vers une limite l tel que : (cours)

1/Je ne comprends pas comment déterminer une valeur approchée à de cette limite.

On sait que et sont adjacentes donc elles ont la même limite :



Et là je bloque.

Je parlerai du 2ème point quand j'aurais compris celui-là pour ne pas trop m'éparpiller.

[Kolis]

Bonjour !
Incroyable que tu n'arrives pas à voir qu'avec tu auras une valeur approchée par défaut en prenant , une valeur par excès en prenant et la précision meilleure que

A noter que "elles converges" n'est pas très correct...

[LB2]

Bonjour mehdi-128,

rien n'est clair dans ce que tu dis, on ne sait pas ce que tu affirmes, ce que tu veux démontrer, ce que tu ne comprends pas...

Pose une question claire et bien définie mathématiquement, et tu verras que très souvent, bien poser ta question te permettra de résoudre ta difficulté tout seul.

Cordialement

[mehdi-128]

Bonjour !
Incroyable que tu n'arrives pas à voir qu'avec tu auras une valeur approchée par défaut en prenant , une valeur par excès en prenant et la précision meilleure que

A noter que "elles converges" n'est pas très correct...

Absolument rien compris.

[mehdi-128]

Bonjour mehdi-128,

rien n'est clair dans ce que tu dis, on ne sait pas ce que tu affirmes, ce que tu veux démontrer, ce que tu ne comprends pas...

Pose une question claire et bien définie mathématiquement, et tu verras que très souvent, bien poser ta question te permettra de résoudre ta difficulté tout seul.

Cordialement

Ok je mets le passage que je n'ai pas du tout compris :

Déterminons une valeur approchée à de cette limite .

Pour cela, il suffit de déterminer un entier n tel que :

L'entier convient puisque :

On obtient alors :

[Mimosa]

Bonjour

C'est vrai que c'est difficile de comprendre ce qui t'embête! Tu sais que les suites sont adjacentes et que . Comme , On a , donc est une valeur approchée de à près. Comme tu la veux à près, n'importe quel rang tel que fait l'affaire!

[mehdi-128]

Je viens de revoir la définition de valeur approchée :

Une valeur approchée a d'un réel x à près est un réel a tel que :



Ensuite : donc :

Donc :



L'inégalité stricte ou large a une importance ?

Ensuite je comprends pas pourquoi pour trouver la valeur approchée de l on fait :

[Mimosa]

On ne fait pas , mais . Mais convient aussi!

[mehdi-128]

Donc j'ai :



Maintenant pour pour la précision voulue, je peux m'arrêter à 7 chiffres après la virgule ?

[mehdi-128]

La suite sur laquelle je bloquais est :

Montrons que cette limite est un nombre irrationnel.
Supposons
Alors il existerait des entier p et q où non nul tel que :

Pour on aurait :



Or :

Donc toutes les fractions de la somme peuvent peuvent s'écrire sur un dénominateur commun

où

Pas compris comment on peut mettre les termes de la somme sous un dénominateur commun

[Kolis]

Vraiment, tu ne sais pas que si , l'entier est un diviseur de .

Maintenant, si ce qui t'arrête c'est la recherche d'un dénominateur commun à plusieurs fractions, tu n'es pas sur le bon forum : il doit y en avoir un niveau "collège" voire "école primaire".

[mehdi-128]

Ah oui divise J'avais pas pensé à ça !

Je teste pour k=3 par exemple :



est entier car

[Kolis]

C'est bien ce que je pensais : tu ne sais pas réduire plusieurs fractions au même dénominateur !

Si tu as et l'addition étant une opération interne de ...

[mehdi-128]

C'est bien ce que je pensais : tu ne sais pas réduire plusieurs fractions au même dénominateur !

Si tu as et l'addition étant une opération interne de ...

Ah oui c'était plus rapide comme ça en utilisant que divise Astucieux votre calcul

Voyez vous une erreur dans mon calcul ci-dessous ?

D'ailleurs en regardant bien la somme j'aurais fait ça (le problème étant que j'ai toujours du q! au numérateur et je n'arrive pas à l'enlever) :



Donc :



En mettant au même dénominateur :

[mehdi-128]

Merci Kolis.

Dernière question, dans mon livre il est écrit que :

Cet exemple donne encore un cas de suite de rationnels qui ne converge pas vers un rationnel. On peut dire également que le corps ne vérifie pas la propriété des suites adjacentes puisque l'exemple montre que 2 suites de rationnel peuvent vérifier les propriétés des suites adjacentes sans que leur limite commune ne soit dans

J'ai pas trop compris : c'est quoi la propriété dont il parle sur les suites adjacentes ?

[pascal16]

Dans R deux suite adjacentes convergent vers un nombre réel.
Dans Q deux suite adjacentes convergent vers un nombre qui peut être réel ou rationnel, pas forcément un rationnel. Ainsi Q est dense dans R (donc très 'fin'), mais pas complet (donc pas si fin que ça).


https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_complet

[Pseuda]

Tout cela est lié : suites de Cauchy qui convergent, suites adjacentes qui convergent, propriété de la borne supérieure. Ces propriétés sont vérifiées dans R et pas dans Q : on dit que R est complet.

[mehdi-128]

Je vois merci.

Du coup dans la propriété des suites adjacentes, la limite commune est supposée rester dans l'ensemble de départ auquel appartiennent les suites ?

[Kolis]

Non !
Il n'y a pas de propriété de suites adjacentes si tu n'es pas dans une partie de .

[mehdi-128]

Non !
Il n'y a pas de propriété de suites adjacentes si tu n'es pas dans une partie de .

Mais est une partie de

Ah la propriété des suites adjacentes dit que la limite commune restera dans ....

Donc pour des suites rationnelles leur limite commune sera dans et rien nous dit qu'elle sera dans ?