Projections vectorielles

[Georges10]

Bonjour chers amis,

Je ne perçoit pas un point sur la notion de projection vectorielle. En fait, il est dit que :

Soit P un plan de ε et vect ( n ) un vecteur normal unitaire de P. La projection vectorielle p associée à la projection ortogonale sur P est telle que: Pour tout vect(u) de ε, p(u)=vect(u) - (u.vect(n)) vect(n)

J'aimerais savoir que représente (u. vect(n))

Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour
On ne comprend très bien tout ça; mais néanmoins si on est dans un espace vectoriel muni d'un produit scalaire
alors l'application p définie par: p(u)=u-(u.n) n où n est un vecteur de norme 1 est une application linéaire.
Plus précisément c'est la projection orthogonale sur l'hyperplan orthogonal à n.

En effet tu peux déjà remarquer que p(u).n=u.n-(u.n) (n.n)=u.n-u.n=0.

Pour revenir à ta question u.n c'est le produit scalaire de u par n.
Donc soit H l'hyperplan orthogonal à n si p est la projection orthogonal sur H et bien un vecteur u se décompose de manière unique en
u=v+w avec v dans H et w dans l'orthogonal. Par def. v=p(u). Donc w= z n et tu peux calculer z en multipliant chaque membre scalairement par n.
Maintenant vu le jargon initial je ne suis pas sûr d'avoir bien répondu car je ne sais même pas dans quel espace
on travaille (espace affine, vectoriel, dimension finie ou non..

[Georges10]

Ok c'est tout à fait ce que tu as dit. Mais je veux comprendre la formule p(u)=u-(u.n)n

[Georges10]

Merci beaucoup j'ai compris
Merci