Suite de rationnels

[mehdi-128]

Bonsoir,

Dans le cours j'ai la propriété :

Pour tout x réel, il existe une suite d'éléments de convergeant vers x.

Et aussi :
Si est dense dans :

Dans un exercice, je ne comprends pas le corrigé suivant : (je ne comprends pas le rapport avec le cours)

Soit x un réel. Il existe 2 suites de rationnels et qui convergent vers x l'une par la gauche et l'autre par la droite :

[Elias]

Salut, basons nous sur la propriété suivante que tu rappelles.

Et aussi :
Si est dense dans :

Maintenant, construisons une suite de rationnels convergeante vers x et vérifiant :
pour tout n,


Déjà, on prend ce que l'on veut pour qui soit strictement plus petit que (aucune importance).
Soit n un entier différent de 0. Pour que tu comprennes bien, je reprends exactement tes notations. Si je note et , alors sont deux réels vérifiant . On est donc sûr qu'il existe tel que .
On choisit alors

La suite ainsi construite est une suite de rationnels et vérifie :
pour tout
Par le théorème des gendarmes, elle converge vers et ainsi construite, c'est par valeurs inférieures.


Voilà, avec cet exemple, tu dois sûrement deviner comment construire la suite .

[mehdi-128]

Merci

Pour pour la suite on a :

[LB2]

Pour tout réel x, on a explicitement une suite de rationnels convergeant vers x.

On peut même prendre une suite de décimaux avec

Cordialement

[LB2]

Ce raisonnement suppose construit bien sûr, et c'est totalement non trivial de construire rigoureusement à partir des rationnels.

Souvent (niveau L1/L2), on se contente d'admettre l'existence de comme un corps totalement ordonné vérifiant la propriété de la borne supérieure

[LB2]

Pour une construction possible de \R, on peut lire http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/reels.pdf

Essentiellement, on considère les suites de rationnels qui sont de Cauchy, et on identifie deux suites de Cauchy ayant la même limite. Mathématiquement, cela revient à dire que l'ensemble des réels est l'ensemble des suites de rationnels qui sont de Cauchy, quotienté par l'idéal des suites convergeant vers 0.

[mehdi-128]

Ce raisonnement suppose construit bien sûr, et c'est totalement non trivial de construire rigoureusement à partir des rationnels.

Souvent (niveau L1/L2), on se contente d'admettre l'existence de comme un corps totalement ordonné vérifiant la propriété de la borne supérieure

Oui c'est ce qui est fait dans mon livre, la construction de à partir de n'est pas au programme de MPSI/MP.

J'ai vu votre document d'ENS, un peu ardu compte tenu de mon niveau actuel, je reprends les maths de puis peu et je n'est pas encore revu les structures algébriques.
Je préfère rester sur des choses "simples" pour ne pas me décourager.