Arithmétique
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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aviateur
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par aviateur » 08 Aoû 2018, 21:18
Bonjour
Voici une petite énigme :
Soient trois réels a,b,c vérifiant:
On pose
et
Pour p et q fixés, qu'elles sont les valeurs possibles de r? En particulier, à quelle(s) condition(s) r est le plus petit possible, le plus grand possible?
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ffback
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par ffback » 08 Aoû 2018, 23:11
On veut trouver r extremal tel que le polynome
soit á racines réelles. J'imagine qu'il faut regarder quand est-ce que le discriminant est nul. Je n'ai cependant pas en tete la formule du discriminant des polys généraux de degré 3.
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aviateur
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par aviateur » 09 Aoû 2018, 00:19
Bonjour, oui pourquoi pas. Moi non plus je ne suis pas "très formule" mais cela devrait être facile à trouver.
Il suffit de penser à ce que doit vérifier la dérivée du polynôme.
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Ben314
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par Ben314 » 09 Aoû 2018, 10:29
Salut,
On peut aussi regarder avec un bète niveau Lycée (et évidement on retrouve le discriminant) :
Si
alors
et, vu les tableaux de variations possibles, pour que
ait trois racines réelles, il faut et il suffit que
en ait deux
(où
) et que
.
Si on cherche une condition sur
, ça signifie qu'il doit être dans l'intervalle
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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aviateur
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par aviateur » 09 Aoû 2018, 10:33
Oui @ben c'est ça. Mais j'attends un peu plus. C'est à dire, en conclusion, à quelle condition sur a,b,c
on a r maximal ou minimal (lorsque p et q sont fixés).
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Ben314
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par Ben314 » 09 Aoû 2018, 10:39
Ben c'est complètement immédiat : dire que "r est le plus petit possible", ça veut dire que tu doit translater ta courbe (celle de x->x^3-px+q) le plus possible vers le haut (à cause du - devant le r) tout en ayant 3 racines.
Et vu la forme de la cubique, le plus haut possible, c'est lorsque les deux dernières racines sont confondues :
. De même dans l'autre sens, r est le plus grand possible lorsque
.
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aviateur
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par aviateur » 09 Aoû 2018, 12:36
OK c'est ça
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