Non, il ne s'agit pas de dire que le développement limité tend vers quoi que ce soit.
Le développement limité c'est une égalité : à l'ordre n, c'est
la sigification de
: pour éviter d'écrire
avec
Cela représente également un terme négligeable devant
(qui est lui-même très petit au voisinage de 0).
L'utilisation du développement limité, c'est qu'on transforme une fonction "à comportement pas bien maîtrisé" en un polynôme : ici quand on divise par x, on voit tout de suite que cela fait 1+ quelque chose avec x en facteur, ce qui permet de calculer facilement la limite quand x->0.
C'est le cas ici : on a un logarithme qui tend vers 0, un entier qui tend vers l'infini, comment résoudre la forme indéterminée : avec le développement limité, le x est en fait 1/n et quand on multiplie par n, il reste 1 plus une somme avec des 1/n, 1/n^2, etc. qui fait 0 quand n tend vers l'infini.
Et ici, il n'est pas besoin de faire un développement limité à l'ordre n : un développement limité à l'ordre 1 suffit : on pose
et on obtient
Si
gène, on peut remplacer par
compte tenu de la définition de
Pour la seconde résolution : l'idée est de transformer l'expression en un truc du genre
car quand X tend vers 0, la limite (si elle existe) est
. C'est une méthode assez efficace également, ici avec
vous obtenez :
Il n'y a plus qu'à dériver
en 0.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.