Interprétation "géométrique et cinématique" de ce théorème

[M.Floquet]

Bonjour à tous, j'ai réfléchi sur ce petit exercice original (il s'agit du 14) : mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/exo%20determinants.pdf et pour la question d), il est demandé une interprétation cinématique pour un point se baladant dans avec pour coordonnées les trois fonctions . D'après la question a), il y a bien un tel que . Au point le "vecteur vitesse" de est dans le plan engendré par les vecteurs .
Peut-être y-a-t-il un lien avec les tangentes parallèles comme pour la version du théorèmes des accroissements finis pour les courbes dans le plan.

Par ailleurs, si on considère le fait que le déterminant représente le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs, cela signifierait qu'au point le volume serait extrémal.

Enfin ça reste confus ...
Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
J'arrive pas à me connecter sur le lien mais c'est peut être un problème soit local, soit temporaire.
Quelqu’un arrive à y accéder ?

[M.Floquet]

Effectivement la balise "url" a peut-être un problème... J'ai mis le site en toute ligne du coup.

[Ben314]

Le fait que le déterminant soit nul, ça te dit que les trois vecteurs ,
et forment une famille liée.
En supposant que les deux premiers forment une famille libre, c'est à dire que O, M(a) et M(b) ne soient pas alignés, ça signifie que M'(c) est combinaison linéaire de et , c'est à dire que le vecteur M'(c) est "parallèle" au plan contenant O, M(a) et M(b) [dit correctement, le vecteur est contenu dans le plan vectoriel associé au plan affine contenant O,M(a) et M(b)]
De plus, comme le point O est "arbitraire", dans le sens que de prendre une autre origine ne change f,g et h que d'une constante donc ne change rien à f',g',h' le résultat reste valable pour n'importe quel plan contenant M(a) et M(b) :
En dimension 3, si P est un plan affine contenant une corde d'une courbe t->M(t) (dérivable et de dérivée partout non nulle) alors il existe entre les deux points de la corde un point où la tangente est parallèle au plan P.
Attention au fait que, par contre, ça ne marche pas avec la droite (M(a)M(b)) : il n'existe pas forcément de c dans ]a,b[ tel que M'(c) soit "parallèle" à la droite (M(a)M(b)). Alors que si on était en dimension 2, là, oui, ça marcherais et c'est "l'essence même" du point de vue graphique concernant le théorème des accroissement finis : en dimension 2, il y a forcément une tangente parallèle à la corde [M(a)M(b)].

[M.Floquet]

D'accord c'est beaucoup plus clair, merci bien ! Du coup le lien avec le volume ne sert pas ici visiblement !

[Ben314]

D'accord c'est beaucoup plus clair, merci bien ! Du coup le lien avec le volume ne sert pas ici visiblement !

Ben le déterminant en question étant égal à zéro, ça te dit que le volume du parallélépipède engendré par les 3 vecteur est nul, c'est à dire... qu'ils sont coplanaires.
Bref, c'est exactement la même chose que de dire dès le départ que le fait que le déterminant est nul signifie que les 3 vecteurs forment une famille liée donc ici, ce point de vue n'apporte pas franchement de truc nouveau.