Gradient et ensembles de niveau

[Yezu]

Bonsoir à tous,

Alors il y a un truc qui me tracasse depuis pas mal de jours mais je n'arrive toujours pas à le comprendre.

Dans mon cours de Calcul Vectoriel, on me dit que le gradient d'une fonction de variables sera toujours perpendiculaire aux ensembles de niveau de la fonction.
Je précise que j'appelle ensemble de niveau :
Pour

L'ensemble de niveau est : .

Alors la preuve de mon livre est la suivante (ils font juste le cas n=2) :
si on note la dérivée directionnelle de f dans la direction du vecteur unitaire . Alors on utilisant la notation nabla pour le gradient :
où est l'angle entre les deux vecteurs.
Ensuite, on a la dérivée directionnelle qui est nulle quand les vecteurs sont orthogonaux .
Cependant la dérivée directionnelle est nulle dans la direction où f ne varie pas, soit dans la direction des lignes de niveau.

C'est ce passage que je ne comprends pas, "la direction des lignes de niveaux", qu'est -ce que cela signifie ? En dim 3, les ensembles de niveau sont des lignes de niveau : intersections du graphe de la fonction et d'un plan . Quelle "direction" cela définit ? D'autant que les dérivées directionnelles sont valables pour des vecteurs du plan (xy).

J'ai cherché sur internet d'autres preuves que je comprends mieux qui passent par la paramétrisation de chemins appartenant aux ensembles de niveau. Et j'ai retrouvé cette même preuve de mon livre sur internet qui utilise exactement cette même conclusion ..

Merci d'avance aux personnes qui pourront éclairer mon ignorance.

[aviateur]

En dim 3, les ensembles de niveau sont des lignes de niveau :

Bonjour,
si n=3 et alors prenons comme exemple
l'ensemble de niveau f(x,y,z)=1 c'est une surface (ici la sphère de rayon 1).

Plaçons nous au point qui appartient à cet ensemble de niveau. Le plan tangent en ce point a pour direction le plan P engendré par les vecteurs et
Un vecteur u dans la direction de cette ligne de niveau est donc un vecteur dans le plan vectoriel P.
Bien sûr pour un tel vecteur et on peut vérifier que
est bien orthogonal à u (donc à P)

[Viko]

les lignes de niveau sont des sous espaces affines de ils possèdent donc tous une direction (un sev de tel que où et est la ligne de niveau ) je pense c'est de ça qu'on parle ici

[Yezu]

Merci beaucoup Aviateur,

Je pense avoir saisi le pourquoi du comment grâce à ton exemple dont le graphe est dans !

Edit : merci aussi à toi Viko ! Je pense avoir compris.

[Yezu]

Bonjour,

Après relecture posée, pour obtenir ; tu passes par la définition de dérivée directionnelle (ce qui marche quand je le fais) ou alors il y a une évidence qui m'échappe quelque part (assez probable ..) ?

Merci encore,

Bonne journée.

[aviateur]

Après relecture posée, pour obtenir ; tu passes par la définition de dérivée directionnelle (ce qui marche quand je le fais) ou alors il y a une évidence qui m'échappe quelque part (assez probable ..) ?

Bonjour
D'une part passer par la définition c'est tout à fait logique, c'est même une preuve.
D'un autre côté le résultat est prévisible ou intuitif si on préfère.
En effet si tu es en un point de la surface de niveau et que tu te déplaces un petit peu sur cette surface dans une certaine direction f reste constant son accroissement est nul.

[Yezu]

C'était à peu près l'idée intuitive que j'avais !

Encore une fois, merci beaucoup aviateur !