Divisibilité dans Z

[Al-Kashi]

Bonjour,
Dans un livre de mathématiques de terminale S, je trouve la définition classique suivante:
Soit et deux entiers. On dit que divise s'il existe un entier tel que .

En se basant sur cette définition, divise car .
Je voulais donc savoir comment un élève en terminale S peut comprendre ce "résultat" sachant que l'on ne cesse de lui répéter qu'on ne divise jamais par .

Merci d'avance !

[Elias]

Salut,

On peut définir la division comme ceci:

Si et sont deux nombres réels, on dit que la division existe s'il existe un unique nombre tel que

On écrit alors: .

On voit alors que, dans le cas où a et b sont entiers,
que c'est bien différent de "la division a/b existe lorsque b est un diviseur de a au sens de l'arithmétique" justement car comme tu le dis, lorsque et , il y a non seulement qui est tel que mais tout entier quelconque.


Ainsi, on peut tout à fait dire que 0 divise 0 (tout entier est d'ailleurs un diviseur de 0 y compris donc 0) mais que a/0 n'existe pas quel que soit a.


Alternativement, on peut aussi définir la division comme ceci :

Déf 1: On dit qu'un nombre réel possède un inverse s'il existe tel que

Proposition: si , alors possède un unique inverse. On le note

Exo: démontrer que ne possède pas d'inverse

Def 2: Si et sont deux nombres réels, on dit que la division existe si possède un inverse (qui est alors unique) et celle ci est définie par:

On arrive aux mêmes conclusions puisque 0 ne possédant pas d'iverse, n'existe pas donc aucune fraction n'existe.

[Al-Kashi]

Bonjour Elias,
D'abord, merci pour ta réponse. Je suis d'accord que divise au "sens de l'arithmétique" mais je me posais la question sur comment un élève de terminale pourrait comprendre cette définition?
S'il fait le lien entre la divisibilité de par avec et l'existence du quotient , l’ambiguïté ne sera pas levée.

[Elias]

L'élève de terminale peut faire le lien avec la division de la façon suivante : lorsque et sont deux entiers et non nul, dire que divise signifie que la division donne un nombre entier (un nombre "qui tombe juste", "sans virgule") .

Après, il faut qu'il ait conscience que l'on ne peut pas choisir cette définition comme définition "officielle" puisqu'elle ne couvre pas le cas où puisque la division par 0 n'est pas possible.

Ça me fait un peu penser à la notion d'évenéments indépendants: la définition officielle est: deux événements A,B sont indépendants lorsque p(A inter B) = p(A) p(B)

On peut l'interpréter en disant p( A sachant B) = p(A) mais p(A sachant B) n'est pas défini lorsque B est de probabilité nulle.


Pour conclure, il faut bien qu'un un élève de terminale s'habitue au fait que deux notions peuvent partager les mêmes termes (les termes "divisions/ divisibilité") mais présenter quelques différences.
Il ne doit surtout rien inventer et se laisser tromper en inventant des propriétés issues de son imagination pour une histoire de vocabulaire.
Il faut veiller aux sens des termes et s'intéresser tout le temps au contexte dans lequel on travaille. Il n'y a jamais d'ambiguïté en maths, tout est toujours bien défini.

[Al-Kashi]

Salut,
C'est exactement ce que je me disais: la subtilité de la divisibilité et la division; ce n'est pas parce qu'un entier est divisible que l'on peut le diviser . Ça me fait penser à la notion d'ensemble dénombrable que l'on ne peut pas dénombrer...
En tout cas, merci !

[beagle]

Mouais je ne vois pas trop l'intérèt que zero divise zero, faudrait voir dans quelle situation cela vous apporte quelque chose ce truc
parce que sinon tout le monde divise zero cela se comprend comme au sens arithmétique
zéro = k somme de zero

Pour en revenir à la comparaison avec l'indépendance que l'on a discuté ces derniers temps,
ben l'histoire du cela marche pour zéro, hum,
c'est plutôt on pouvait vivre avec sans ètre géné,
parce que un jour vient où la contradiction arrive.

Donc je trouve très bien que cela pose problème en zéro.

[hdci]

Le fait qu'on admette dans la définition que doit sûrement trouver une explication dans les différents théorèmes qui traitent ou utilisent la divisibilité, et qui n'ont pas besoin de différencier le cas nul des autres cas.

[pascal16]

le passage de l'anneau Z au Corps Q :

dans Z, a/b n'a pas de sens car 1/b n'existe pas en général.
la notation vient d'un classe d'équivalence qui autorise alors la notation a/b.
c'est finalement après qu'on démontre que l'écriture est réellement compatible avec l'idée qu'on se fait d'une fraction.

http://tsmaths.free.fr/Prepa/LesNombres/Lesnombresrationnels.pdf

Nous pourrions tout aussi bien construire Q avec la notation 1/b est tel que b*(1/b)=1, celle d'où part notre culture des fractions en primaire et en déduire la même chose. Mais ce n'est pas façon académique.

J'avais imaginé pour le Capes une construction de N sans notation décimale (qui est celle qu'on devrait faire) et bien, il faut vraiment s'accrocher pour comprendre le bon cheminement mathématique à faire.

[Al-Kashi]

Bonjour et merci à tous,
Ma question était était d'ordre pédagogique sur la façon comment un élève en terminale comprend une telle situation.
Bon dimanche

[Pseuda]

Bonjour,

0 ne divise que 0, et dans ce cas, on a une infinité de déterminations possibles. Donc on ne peut pas diviser par 0.

@pascal Que fais-tu de 2/3 ? Et une fois 2/3 obtenu, que fais-tu de 4/6 ?

[Al-Kashi]

Bonjour Pseuda,
D'après la définition de la divisibilité qui se trouve dans les livres de maths de terminale, 0 divise bien 0 " au sens de l'arithmétique".
C'est une source s'embrouille pour les élèves ...

[pascal16]

@pascal Que fais-tu de 2/3 ?

c'est deux part d'un gâteau coupé en 3.
on ne fait que "couper en n parts" au primaire.

[hdci]

J'avais imaginé pour le Capes une construction de N sans notation décimale (qui est celle qu'on devrait faire) et bien, il faut vraiment s'accrocher pour comprendre le bon cheminement mathématique à faire.

Que voulez-vous dire : faire la construction de de façon axiomatique ?
Si oui, il y a deux façons de procéder (plus une troisième avec ZFC, mais il faut dérouler toute la théorie jusqu'à l'axiome de l'infini ce qui n'est pas simple) :

• les axiomes de l'ordre : il existe un ensemble non vide, muni d'une relation de bon ordre (i.e. toute partie non vide admet un plus petit élément) et tel que toute partie non vide majorée admet un plus grand élément :
  
  • avec cette définition on vérifie aisément que chaque élément admet un successeur et chaque élément sauf le plus petit d'entre eux admet un prédécesseur
  • on appelle 0 le plus petit élément et on définit par récurrence l'addition, la multiplication
  • on démontre le "principe de récurrence" (si une partie contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments, c'est l'ensemble tout entier)
  • on montre par récurrence (c'est assez facile mais parfois fastidieux) que l'addition est commutative, associative, que la multiplication est commutative, associative, distributive sur l'addition
• les axiomes de Peano : il existe un ensemble non vide muni d'une injection tel que tout élément sauf l'un d'entre eux admet un antécédent, et satisfaisant le principe de récurrence (érigé ici en axiome et non en théorème)
  
  • avec cette définition, en appellant "successeur" l'image par l'injection axiomatique, on définit l'addition, la multiplication par récurrence
  • on montre par récurrence la commutativité, associativité, distributivité
  • et on définit la relation de bon ordre avec l'addition, qui vérifie le fait que toute partie non vide majorée admet un plus grand élément

Ce faisant on n'a jamais utilisé la notation décimale (saut l'élément "0" mais on pouvait lui donner n'importe quel nom en fait).

[pascal16]

on appelle 0 le plus petit élément et on définit par récurrence l'addition, la multiplication
on démontre le "principe de récurrence" (si une partie contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments, c'est l'ensemble tout entier)

La démo du principe de récurrence est la base de tout ce qu'on fait, c'est le point clé pour moi. Deux façon différentes de construire un nombre doivent aboutir au même nombre.

Avec seulement le successeur "s", une addition s'écrit :
sss0 + ss0=sssss0
et
ssssssssssssssssssssssssss0 * sssssssssssss0 vaut combien ?
On voit bien que c'est la façon académique, mais pour tant pas celle employable en primaire et les nombres n'ont encore aucune écriture pratique. On ne crée pas N, mais un ensemble isomorphe (un ensemble infini, minoré par 0, totalement ordonné...). Reste à démontrer l'isomorphisme avec la numération employée ou les numérations employables.

Mon défit personnel était , à partir d'une écriture des nombres datant d'avant JC, au niveau de quelqu'un d'avant JC de lui faire une construction tout aussi rigoureuse (c'est de l’épistémologie).
Je partais donc de I, son successeur est II...
Avec le regroupement 5 par ou par 10 arrivait aussi l'alphabet (ie les sigles à utiliser, les règles de regroupement et la composition) et la notion de "aussi grand qu'on veut" en étendant l'alphabet.
Puis seulement arrivait le 0.
La construction suivait assez le système scolaire actuel.

[hdci]

Avec seulement le successeur "s", une addition s'écrit :
sss0 + ss0=sssss0
et
ssssssssssssssssssssssssss0 * sssssssssssss0 vaut combien ?

Oups, là je n'ai pas bien compris...

Pour moi la définition de l'addition par récurrence est : étant donné , et en notant le successeur de (j'aime bien cette notation tirée du langage informatique )

• 
• 

Et la multiplication

• 
• 

Avec la théorie ZFC on montre qu'un tel ensemble est isomorphe (pour la relation d'ordre) avec l'ensemble prédit par l'axiome de l'infini.

La construction à partir des axiomes de l'ordre me semble naturel dès lors qu'on a un peu manipulé les entiers naturels comme "nombres pour dénombrer des choses" : toute partie de l'ensemble des nombres entiers admet bien un plus petit élément (quand on les range dans l'ordre c'est le premier...) et si la partie est finie, elle admet un plus grand élément (quand on les range dans l'ordre c'est le dernier).

Masi ces notions me semblent très naturelles car je suis de l'époque où on faisait des "maths modernes" dès le primaire et je me sens très à l'aise avec ces notions

[beagle]

Bonjour Pseuda,
D'après la définition de la divisibilité qui se trouve dans les livres de maths de terminale, 0 divise bien 0 " au sens de l'arithmétique".
C'est une source s'embrouille pour les élèves ...

Bonjour Al-Kashi, il me semble que la position de Pseuda termine la reflexion du premier jour.

On était resté à zéro est divisible par zéro, mais zéro ne le fera pas car c'est interdit.
différence divisible et diviser,
hum cela n'arrivait pas à me convaincre (et je suis comme élève à convaincre niveau bon collège plutôt que lycée!)
Pseuda apporte la note finale.Oui zero divise zéro, sauf que le résultat n'est pas un résultat mais toutes les valeurs possibles. Donc on va s'interdire de diviser par zéro parce que le résultat serait "tout" et que c'est pas gérable, au moins au quotidien du collège, lycée…

Perso je trouve que c'est une position tenable, non perturbante.

[Pseuda]

Bonjour Pseuda,
D'après la définition de la divisibilité qui se trouve dans les livres de maths de terminale, 0 divise bien 0 " au sens de l'arithmétique".
C'est une source s'embrouille pour les élèves ...

Oups il y a encore une source d'embrouille. 0 divise bien 0 au sens de l'arithmétique (ou des anneaux en général), mais on s'interdit de mettre une valeur 0 au dénominateur d'un quotient, car dans ce cas, le numérateur doit être nul, et si c'est le cas, il y a une infinité de déterminations possibles pour le quotient.

Dans tous les cas, le quotient n'est pas déterminé dans une division par 0.

Perso je n'ai pas rencontré d'élèves gênés par cela.

[pascal16]

... étant donné

Dans une construction propre, p ne s'écrit pas encore "12" mais
0++++++++++++++++++++++++

Il faut soit :
_ d'abord finir la construction de ton ensemble et prouver que tu as obtenu les entiers naturels exactement.
_ soit dire que se sont les entiers naturels, et ensuite les relier à ceux qu'on utilise tous les jours pour prouver que c'est ma même chose.

[hdci]

... étant donné

Dans une construction propre, p ne s'écrit pas encore "12" mais
0++++++++++++++++++++++++

Il faut soit :
_ d'abord finir la construction de ton ensemble et prouver que tu as obtenu les entiers naturels exactement.
_ soit dire que se sont les entiers naturels, et ensuite les relier à ceux qu'on utilise tous les jours pour prouver que c'est ma même chose.

Mais je ne dis pas que s'écrit 12. je dit juste "soit : à ce stade je suis dans l'abstraction la plus complète, je dispose d'un ensemble vérifiant certains axiomes, puis je définis une loi de composition interne en n'utilisant que ces axiomes et je démontre que ces lois vérifient quelques propriétés.

Quant à dire que ce que j'ai obtenu sont exactement les entiers naturels, c'est inverser le sujet : quelle est la définition de "entier naturel" en mathématiques ? Il n'y a pas de définition "absolue". Il y a une "définition en langage naturel", ce sont "les nombres qui servent à compter des choses" (nombre de cailloux dans ce tas de cailloux...), mais cette définition est tout sauf mathématique.

La définition "axiomes de l'ordre", ou bien "axiomes de Peano", ou bien si on bascule en théorie des ensembles ZFC "axiome de l'infini" sont autant de définitions possibles, sachant qu'on montre relativement facilement que ces définitions aboutissent, à isomorphisme près, au même ensemble, et que cet ensemble a le bon goût de coller à notre intuition non mathématique de "nombres entiers naturels"

Alors pour arriver à une écrire "dans une base donnée", il faut alors faire un peu d'arithmétique, le point crucial étant le suivant : soit alors tout entier s'écrit de façon unique avec

Parce que finalement quand on écrit 5324 (dans notre systèe d'écriture usuel), on n'a écrit rien d'autre que

[hdci]

Il faut lire et pas dans avec