Espaces vectoriels normés et applications linéaire continues

[ZLM]

Salut, s'il vous plaît aidez-moi à résoudre cet exercice.

Exercice

Pour ou , , on note


que l'on muni de la norme .


designe simplement l'espace des suites bornées dans , muni de la norme infinie. On rappelle que pour tout l'espace est complet.

1) montrer que pour , on a toujours
, avec injection continue.

2) montrer que pour toute suite,
.

3) on note

.

Montrer que est un sous espace vectoriel de contenant tous les
avec
.

4) montrer que , est dense dans qui lui-même dense dans ( lorsqu'on munit de la norme ).

Quant en est-il de la densité de tous ces espaces dans .

5) monter que pour
, est séparable.

6) montrer que n'est pas séparable.

[hdci]

Bonjour,

Il manque une puissance p ici

que l'on muni de la norme .

Il faut lire


Pour la première question, quelques pistes :

• traiter le cas à part
• que peut-on dire de la suite : limite ?
• Par conséquent, peut-on comparer et quand (du moins, à partir d'un certain rang )?
• Que peut-on alors dire des séries correspondantes ?
• Alors, quelle serait l'injection canonique ? Cette injection est-elle continue ?

[ZLM]

Bonsoir hdci, déjà merci beaucoup pour les indications sur la question 1, j'ai travaillé selon ces indications et j'ai pu obtenir le résultat.
Maitenant, S'il vous plaît je souhaiterais que vous donniez des indications sur la question 2.

[hdci]

Pour la question 2, je vois deux façons de la résoudre.

La première utilise la théorie de la mesure et le théorème de convergence dominée de Lebesgue : êtes-vous familier avec ces notions ?

Sinon : le probème est alors de résoudre une double limite, autrement dit peut-on échanger les limites (limite d'une série quand et tendent vers l'infini) : ce n'est pas si immédiat... Une façon de faire est alors d'utiliser un encadrement qui va nous affranchir de l'indice pour ne dépendre que de .

• Traiter le cas de la série nulle en premier (trivial)
• Si la série n'est pas nulle, que peut-on dire de ?
• En déduire que le problème se résume à montrer que a pour limite 1 quand
• En appelant , montrer que est une suite décroissante minorée par 1 et majorée par
• En appelant la racine -ème de la somme partielle de la série qui apparaît depuis quelques temps sous un certain radical, et en utilisant un développement limité, majorer par une expression qui ne dépend que de et d'une certaine constante (indépendante de et qu'on se gardera bien de calculer, mais qu'il faut bien établir comme étant finie)
• Conclure

[ZLM]

Bonsoir hdci, encore merci beaucoup pour ces indications , j'ai travaillé selon ces indications et j'ai pu obtenir le résultat demander par la question avec la 2eme méthode.
Concernant la 1 ère méthode : j'ai essayé mais je n'arrive pas à trouver le résultat demandé par la question. Mais ce n'est pas grave , je m'en sors bien avec la deuxième méthode.
Maintenant, s'il vous plaît je souhaiterais que vous me donniez des indications sur la question 4.
Concernant la question 3 , je ne rencontre pas de problème. Mon souci se limite maitenant dans tout l'exercice sur la question 4.
Merci pour l'aide.

[hdci]

4) montrer que , est dense dans qui lui-même dense dans ( lorsqu'on munit de la norme ).

Quant en est-il de la densité de tous ces espaces dans .

Puisqu'on parle de sous-espace de l'espace , lequel est muni de la norme , on applique cette norme sur tous les espaces bien évidemment : c'est le point le plus "sensible" ici, car on a vite fait de s'embrouiller en mélangeant les différentes normes définies, or la densité est une notion dans une même topologie et les normes définissent des topologies différentes.

Montrer que est dense dans , c'est montrer que pour tout élément , et tout rayon , il existe un élément tel que (dans un espace topologique quelconque, c'est montrer que tout ouvert non vide de rencontre , dans un espace vectoriel normé qui est un espace métrique, il suffit de le montrer pour toute boule ouverte car tout ouvert contient une boule ouverte)

Prenez alors une suite quelconque dans :

• Que peut-on dire de sa limite ?
• En déduire que certains de ses termes sont strictement inférieurs à
• Considérer alors la suite dont tous les termes sont égaux à ceux de , sauf ceux inférieurs à qui sont rendus nuls. A quel(s) ensemble(s) de suites appartient-elle ?
• En déduire que est dense dans

Pour la dernière sous-question portant sur , à votre avis quelle sera la réponse ?

• les suites de ont-elles une limite ?
• En déduire la réponse à la question de la densité de dans

[hdci]

Bonsoir hdci, encore merci beaucoup pour ces indications , j'ai travaillé selon ces indications et j'ai pu obtenir le résultat demander par la question avec la 2eme méthode.
Concernant la 1 ère méthode : j'ai essayé mais je n'arrive pas à trouver le résultat demandé par la question.

Voici la solution très détaillée pour la "première méthode". Je pense qu'il est intéressant de comprendre ce mécanisme car on utilise à fond la puissante théorie de la mesure (évidemment, on peut écrire ce résultat de façon bien plus courte, j'ai voulu être très pédagogique dans cet exposé)

Avant tout, on évacue le cas trivial de la suite nulle. On suppose désormais que la suite n'est pas nulle.

Tout d'abord, si est une suite numérique, c'est alors une application de .
Munissons de la mesure de dénombrement (c-a-d. la mesure d'une partie de \N est égale à son cardinal, éventuellement infini) que nous appellerons . Alors on peut écrire la somme sous forme d'intégrale :



Remarquons également que si , comme la suite est dans , sa limite est nulle donc sa borne est atteinte au moins une fois, au plus un nombre fini de dois (sauf pour le cas de la suite nulle)

On a alors



On souhaite que cette somme converge vers 1 quand tend vers l'infini, et pour cela on voudrait échanger les imites sur et sur . Avec l'histoire de la mesure et de l'intégrale, cela revient à échanger la limite d'une suite d'applications (indexées par p) avec le signe intégral, et c'est là que le théorème de la convergence dominée de Lebesgue va intervenir.

On commence par remarquer que la somme sous le radical est supérieure ou égale à 1, car chaque terme est inférieur strictement à 1, sauf pour les quelques termes de la suite qui sont égaux en valeur absolue à : on a donc une expression du type où k est le nombre de termes égaux à M et qqchose une somme de termes positifs strictement inférieurs à 1 : c'est donc supérieur à k,
Quand on en prend la racine p-ième, on obtient donc un nombre inférieur (mais supérieur à 1). Si la limite de la somme (sans la racine) est finie (et on peut espérer que ce soit exactement k d'ailleurs), la limite de la racine p-ème sera donc exactement égale à 1.

Soit alors les applications définies de par



Les forment une suite d'applications positives, décroissantes car ( et si alors

La suite est donc dominée par qui est intégrable (puisque la suite est dans ). Le théorème de convergence dominée permet de dire



Or la limite des est la suite qui vaut 0 partout où M et 1 partout où , et on a dit qu'il y en avait exactement .

Donc ce qui en reprenant la racine p-ème où p tend vers l'infini, montre que



Dernier point si on est sceptique sur le fait de prendre la racine p-ième et de "refaire tendre" p vers l'infini (parce que dans ce cas on fait tendre deux fois séparément vers l'infini, est-ce bien licite...?)

• puisque la limite de l'intégrale est , il existe un rang à partir duquel les valeurs des intégrales sont toutes inférieures à
• donc la racine p-ème est inférieure à tout en étant supérieure à 1
• Yapuka appliquer le théorème des gendarmes.

[ZLM]

Bonjour Hdci, merci beaucoup pour l’éclaircissement apporté sur la méthode 1.
Je remarque même qu'elle est encore plus intéressante et facile à maîtriser que la méthode 2. Encore un très grand merci à vous.
Concernant les indications sur la question 4. Je poursuis toujours mes calculs ; dès que sa marchera. je ne manquerai pas de vous le signaler.
Encore merci beaucoup pour l'aide.

[ZLM]

Bonjour hdci, encore un très très grand merci pour les indications sur la question 4 , j'ai travaillé selon ces indications et j'ai pu obtenir le résultat demander par la question .
Un très grand merci à vous.
Encore merci beaucoup pour l'aide.

[hdci]

Y'a pas de quoi !