Caractérisation de la borne supérieure

[mehdi-128]

Bonjour,

Je rappelle la définition donnée dans mon cours:
Soit A une partie de non vide et majorée par un réel a. Alors :


Exemple : je bloque sur une étape du raisonnement.


En effet, raisonnons par l'absurde et supposons :

Alors

Je comprends pas d'où sort cette inégalité

D'après le théorème précédent, appliqué avec



Pas compris non plus comment on obtient cette deuxième inégalité

[pascal16]

Alors

soit a= sup(A) et b= inf(B)

z= (a+b)/2 vérifie ta relation

vers 15min30sec :
https://www.youtube.com/watch?v=D-KVSv5AuSA

[mehdi-128]

J'ai pas compris...

Concernant la vidéo, elle est bien mais j'ai déjà compris la formule du cours, c'est cet exemple que j'ai pas compris, et il l'explique pas dans la vidéo.

[mehdi-128]

Pour la suite de la démonstration ils utilise le théorème du cours ci dessus mais idem je comprends pas pourquoi ils mettent l'inégalité stricte !

D'après le théorème précédent appliqué avec



Alors que d'après le cours c'est :

Idem pour la borne inférieure :

Je prends

Je trouve

Mais le livre donne :

Je trouve

[pascal16]

soit A= R- U {1}

sup(A)=max(A)=1

soit z= 0

en effet il n'y a aucun nombre de A strictement entre 0 et 1

alors que l'inégalité au sens large est vraie.

[Kolis]

Que voilà un drôle d'énoncé !
Les parenthèses implicites me semblent être :
.

Alors que tu veux montrer :

[Pseuda]

(

Bonjour,

Si ton but c'est de montrer cela, il est plus simple et plus rapide de le faire dans le sens direct.

[Pseuda]

.

Soit donc . . Donc est un minorant de . Or est le plus grand des minorants de B. On en déduit .

Or ceci est vrai . Donc . Donc est un majorant de . Or est le plus petit des majorants de A. On en déduit .

[mehdi-128]

Que voilà un drôle d'énoncé !
Les parenthèses implicites me semblent être :
.

Alors que tu veux montrer :

J'ai pas compris la différence entre les deux

[mehdi-128]

@Pseuda

Ah j'ai compris votre démo, elle est rapide ! Vous fixez un élément puis vous utilisez les propriétés du majorant / minorant.

Je suis parti sur une autre méthode :

Supposons par l'absurde que :
Alors

D'après la caractérisation de la borne supérieure :



Soit

D'où :

De même pour la borne inférieure :



Prenons :

Soit

D'où :



Finalement : où et contradiction !

[Kolis]

"J'ai pas compris la différence entre les deux :"

J'ai toujours appris, quand on écrit une relation avec quantificateur, qu'on met le(s) quantificateur(s) suivi(s) de la proposition concernée.
Donc après tes quantificateurs tu as écrit la proposition : et c'est ce que j'ai mis entre parenthèses.
Mais cette relation n'a aucun sens ou en tout cas non démontrable puisque tu veux comparer les bornes de juste avec une inégalité sur .

Le bon parenthésage est clair : il y a la proposition et tu dois en déduire la comparaison des bornes de .

Si tu ne vois pas la différence, cela mérite un peu de réflexion...

[Pseuda]

@mehdi-128, ta démonstration me parait ok. Tu as démontré la contraposée de ta proposition (ce qui la démontre). Cela devient une démonstration par l'absurde si tu supposes que l'hypothèse de la proposition est vraie, mais à mon sens c'est un peu inutile.

[mehdi-128]

Donc après tes quantificateurs tu as écrit la proposition : et c'est ce que j'ai mis entre parenthèses.
Mais cette relation n'a aucun sens ou en tout cas non démontrable puisque tu veux comparer les bornes de juste avec une inégalité sur .

Pas compris ce passage

[mehdi-128]

@Kolis vous soulevez un point important que je n'ai jamais compris en fait par exemple sur les suites :



Pourquoi on met la parenthèse à cet endroit précis ?

[hdci]

Je pense que c'est une question de priorité.
Si on écrit , on pourrait lire



Ce qui est tout à fait différent, car est faux sauf si , et si l'hypothèse est fausse l'implication et toujours vraie.

[mehdi-128]

Je vois Hdci !

Par contre ici je vois pas la différence entre :

.

et

[hdci]

J'ai pris un peu de temps pour revoir mes notes en logique propositionnelle et du premier ordre. Je confirme et précise ce que j'ai écrit précédemment

Une proposition est

• soit une formule élémentaire (par exemple, ou bien encore ) : une relation entre deux objets (lesquels peuvent s'exprimer de façon plus ou moins complexe)
• soit une ou plusieurs propositions reliées par des opérateurs logiques (négation, ou, et, implication, équivalence : le nombre de formules utilisées est directement lié au nombre d'opérandes requis par l'opérateur : une seule formule pour la négation, deux pour les autres, rien n'interdit "d'imaginer" des opérateurs avec plus d'opérandes comme en langage informatique C avec l'opérateur ternaire ""
• soit où est une proposition
• soit enfin de la forme où
  
  • <quantificateur> est un quantificateur comme , ,
  • <nom> est le nom d'une variable (en général utilisée dans \Phi mais ce n'est pas nécessaire),
  • est une proposition, et on la met ici entre parenthèse

Après quoi, on peut "supprimer" des parenthèses. Par exemple

• est identique à
• La négation est prioritaire sur l'opérateur ET est prioritaire sur OU, lui-même prioritaire sur , lui-même prioritaire sur , inutile de préciser les parenthèses si la proposition suit les règles de priorité
• enfin, si est une formule élémentaire, est identique à

Après, il y a des abus d'écriture : par exemple, est un "raccourci" pour

Donc comme je le disais dans le message précédent, l'écriture

signifie, quand on ajoute les parentèses "omises réglementairement" :


Et cette phrase n'a pas de valeur de vérité, car les variables et qui sont utilisées après l'implication sont en-dehors du champ des quantificateurs. C'est exactement comme si on avait écrit

• L'opérande de gauche de l'impication est toujours vraie : en effet il existe bien tel que pour tout on ait : il suffit de prendre
• l'opérande de droite n'est pas évaluable, parce qu'on ne connaît la valeur ni de ni de

[hdci]

Par contre ici je vois pas la différence entre :

.

et

La première proposition est correcte.
La seconde proposition est incorrecte, car de part les parenthèses, A et B ne sont définis qu'avant l'implication.
Le A et le B qui sont définis après l'implication sont sans aucun rapport avec ceux qui sont définis dans la parenthèse. La seconde proposition est exactement la même que celle-ci



Ici C et D ne sont pas "définis" donc on ne sait pas dire si la proposition est vraie ou fausse.
C'est comme en informatique : les variables "locales" n'ont de sens que dans la fonction ou procédure dans laquelle elles sont définies (et dans certains langages, dans le bloc même où elles sont définies) et n'ont plus de sens en-dehors.

[mehdi-128]

Donc comme je le disais dans le message précédent, l'écriture

signifie, quand on ajoute les parentèses "omises réglementairement" :

J'ai pas trop compris comment on met les parenthèses

[mehdi-128]

Par contre ici je vois pas la différence entre :

.

et

La première proposition est correcte.
La seconde proposition est incorrecte, car de part les parenthèses, A et B ne sont définis qu'avant l'implication.
Le A et le B qui sont définis après l'implication sont sans aucun rapport avec ceux qui sont définis dans la parenthèse.

Pourquoi le A et B définis après l'implications sont sans aucun rapport avec ceux définis dans la parenthèse ?
J'ai pas compris cette partie.