Majorant

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Majorant

par mehdi-128 » 19 Juil 2018, 00:57

Bonsoir,

Je suis dans le cours sur les majorants, et je me demande comment montrer que :

est majorée par dans et dans



Elias
Habitué(e)
Messages: 369
Enregistré le: 07 Fév 2016, 19:20

Re: Majorant

par Elias » 19 Juil 2018, 02:18

mehdi-128 a écrit:Bonsoir,

Je suis dans le cours sur les majorants, et je me demande comment montrer que :

est majorée par dans et dans


Soit .
Reformulons un peu le tout car j'aime pas trop ces histoires de "majorant dans Q ou R".
Tu veux donc montrer que est un majorant de (vu comme un sous ensemble de )
Et tu veux par ailleurs montrer que est un majorant de (vu comme un sous ensemble de )


Pour 3/2 :

Soit dans . Si jamais , alors on a (car la fonction carré est croissante sur ), ce qui contredit le fait que est dans
Donc pour tout dans , on a d'où le résultat.

Tout simplement.

Idem pour .
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 19 Juil 2018, 03:14

Je vois merci !

Mais si on savait pas qu'on devait obtenir 3/2 et comment procéder ?

pascal16
Membre Légendaire
Messages: 6663
Enregistré le: 01 Mar 2017, 14:58
Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV

Re: Majorant

par pascal16 » 19 Juil 2018, 11:55

Toujours revenir à la base :
c'est quoi UN majorant ?
est-il unique ?
c'est quoi LA borne supérieure ?
est-elle unique quand elle existe ?

Elias
Habitué(e)
Messages: 369
Enregistré le: 07 Fév 2016, 19:20

Re: Majorant

par Elias » 19 Juil 2018, 12:30

mehdi-128 a écrit:Je vois merci !

Mais si on savait pas qu'on devait obtenir 3/2 et comment procéder ?


Dans ce cas, on part d'un élément x de A et on sait que donc en prenant la racine (fonction croissante sur R+), on obtient et donc en particulier

Après, si on veut donner un majorant rationnel, on peut prendre n'importe quel rationnel plus grand que et donc par exemple 3/2 ou encore 1,42 ou encore 1,415 etc
Il faut bien comprendre que A vu comme un sous ensemble de n'a pas de borne supérieure (on ne trouvera jamais un majorant rationnel qui soit le plus petit possible parmi tous les majorants rationnels de A puisqu'à chaque fois qu'on trouve un majorant rationnel style 1,42, on peut pousser plus loin dans les décimales (en puisant dans les décimales de ) pour en trouver un plus petit (style 1,415 plus petit que 1,42 etc))


En revanche, A vu comme un sous ensemble de possède (comme TOUTES les parties non vides et majorées de ) une borne supérieure: c'est


Si tu prends tous les majorants réels de A, il y a bien sûr qui en fait partie comme on l'a montré ensemble et c'est bien le plus petit.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 19 Juil 2018, 13:16

pascal16 a écrit:Toujours revenir à la base :
c'est quoi UN majorant ?
est-il unique ?
c'est quoi LA borne supérieure ?
est-elle unique quand elle existe ?


Il peut y avoir plusieurs majorants.
La borne supérieure est unique.
La borne supérieure est le plus petit de l'ensemble des majorants.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 19 Juil 2018, 13:30

Merci :)

Raisonnons par l'absurde. Supposons que A admet une borne supérieure dans .
Notons :
On ne peut pas avoir puisque est irrationel.

On ne peut pas avoir :

Comment savoir si la valeur absolue de b vaut ou ?

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 19 Juil 2018, 14:53

1er cas :

Posons pour n entier naturel non nul :



Donc :

Soit :

Prenons :

Ainsi :

Or est un élément de A tel que

La borne supérieure de A est censée être un majorant de A, d'où une contradiction !

pascal16
Membre Légendaire
Messages: 6663
Enregistré le: 01 Mar 2017, 14:58
Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV

Re: Majorant

par pascal16 » 19 Juil 2018, 15:12

l'exo ne porte que sur des majorants, on est pas à l’irrationalité de V2,

x un élément de cet ensemble
soit 0<= x <= 3/2
0<= x² <= (3/2)²
or (3/2)² = 2.25 > 2
soit x<0, et évidement x<=3/2
donc 3/2 est un majorant de cet ensemble

au passage 3/2 est aussi un majorant dans R.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 19 Juil 2018, 17:53

pascal16 a écrit:l'exo ne porte que sur des majorants, on est pas à l’irrationalité de V2,

x un élément de cet ensemble
soit 0<= x <= 3/2
0<= x² <= (3/2)²
or (3/2)² = 2.25 > 2
soit x<0, et évidement x<=3/2
donc 3/2 est un majorant de cet ensemble

au passage 3/2 est aussi un majorant dans R.


Vous obtenez et pas donc ça marche pas

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1962
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Majorant

par hdci » 19 Juil 2018, 18:14

mehdi-128 a écrit:
Vous obtenez et pas donc ça marche pas


Si cela marche : 2,25 est bien un majorant de , ce n'est certes pas le plus petit mais c'en est un (autrement dit, si , alors a fortiori )

Si la question est "trouver un majorant", on aurait pu également prendre 10 ou 1000000.

Si la question est "trouver la borne supérieure", alors là effectivement ce n'est pas (et on retombe sur le fait qu'il y a une borne supérieure dans c'est , mais pas de borne supérieure dans : l'ensemble des majorants n'a pas de borne inférieure))
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 19 Juil 2018, 19:07

est majorant dans car :
donc ça marche dans

car tous les éléments sont inférieurs à

est majorant dans si :


Les éléments de A sont inférieurs ou égal à donc 3/2 est un majorant dans

C'est juste ?

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1962
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: Majorant

par hdci » 19 Juil 2018, 19:09

Oui, c'est cela.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 19 Juil 2018, 19:13

J'ai une petite question que j'ai lu dans une démo ça m'a l'air évident pour la relation d'ordre usuelle dans mais pas pour toutes le relations d'ordres même si j'ai pas le recul nécessaire :

Soit A une partie d'un ensemble E ordonné par une relation d'ordre
est un minorant de l'ensemble des majorants de A

Vous avez pas un exemple avec une autre relation d'ordre ?

pascal16
Membre Légendaire
Messages: 6663
Enregistré le: 01 Mar 2017, 14:58
Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV

Re: Majorant

par pascal16 » 19 Juil 2018, 19:33

max(A) est un élément de A
donc pour tout x de Maj(A), on a A<=x
donc A est un minorant de Maj(A)

je n'ai jamais supposé qu'on était dans R

[edit], corrigé :
max(A) est un élément de A
donc pour tout x de Maj(A), on a max( A)<=x
donc max(A) est un minorant de Maj(A)

je n'ai jamais supposé qu'on était dans R
Modifié en dernier par pascal16 le 20 Juil 2018, 11:12, modifié 2 fois.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 20 Juil 2018, 06:41

pascal16 a écrit:max(A) est un élément de A
donc pour tout x de Maj(A), on a A<=x
donc A est un minorant de Maj(A)

je n'ai jamais supposé qu'on était dans R


Rien compris vous comparez un ensemble à un majorant c'est pas logique

Elias
Habitué(e)
Messages: 369
Enregistré le: 07 Fév 2016, 19:20

Re: Majorant

par Elias » 20 Juil 2018, 07:02

La démo est la même pour toute relation d'ordre quelconque.
Je note
Cela signifie qu'il existe tel que et on a: pour tout

Ensuite, est un majorant de bien sûr donc

Montrons que est un minorant de

Soit quelconque. Comme est un majorant de , il vérifie :
pour tout
En particulier, avec , on obtient :
donc
Donc est bien un majorant de .
Pseudo modifié : anciennement Trident2.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Re: Majorant

par mehdi-128 » 20 Juil 2018, 14:22

@Elias

Bien vu 8-)

Vous avez fait une petite erreur de frappe :

donc est un minorant de

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 35 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite