Partie non vide et majorée

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit A une partie non vide de et f une fonction de A dans majorée.

Alors l'ensemble est non vide et majorée.

Qui nous dit que sur A la fonction f aura des images ? La définition d'une fonction c'est "chaque élément de A a au plus une image" donc il y en a pas forcément.
Pourquoi l'ensemble des images est non vide ? On sait juste que A est non vide mais je vois pas le rapport avec l'ensemble des f(x)

Bref, c'est pas du tout clair pour moi.

[hdci]

Formellement vous avez raison : une fonction associe à chaque élément du départ au plus un élément de l'arrivée. Si c'est "exactement une image" c'est une application

Mais c'est une vision très française (les anglophone ne font pas la différence, pour eux fonction = application) et dans le langage usuel, on parle désormais souvent de fonction pour dire "application"

Toutefois, l'énoncé dit que est majorée, ce qui laisse entendre qu'il y a au moins une image. Mais je ne pense pas que ce soit l'idée du rédacteur de l'énoncé (car c'est quand même bien capillotracté).

L'énoncé pourrait être ici "soit une fonction de dont est inclus dans le domaine de définition" ou plus simplement "soit une application de dans "

[mehdi-128]

C'était un exemple dans le cours de Gilles Costantini.

Mais j'ai bien vérifié, je n'ai rien oublié, je pense que vous avez raison :

"Toutefois, l'énoncé dit que est majorée, ce qui laisse entendre qu'il y a au moins une image."

[HardcoreLulu99]

Bonjour,
Si l'ensemble d'arrivé d'une fonction est majoréec'est qu'il est non vide car la borne supérieure de l'ensemble vide est moins l'infini. Donc la fonction f de l'énoncé proposé admet forcement au moins une image car f(A) est majoré (on ne peut pas majorer l'ensemble vide).

[mehdi-128]

Sur la droite réelle achevée ?

Dans R, l'ensemble vide n'a pas de borne supérieure car R n'admet pas de borne supérieure.

[HardcoreLulu99]

Exact, moins l'infini n'est pas dans R mais dans R "barre" et l'ensemble vide admet une borne sup dans R barre et non dans R :

Supposons que f(A) soit vide, comme f(A) est majoré et que c'est une partie réelle elle admet une borne supérieure dans R. Ce résultat est absurde car si f(A) est vide alors sa borne supérieure vaut moins l'infini qui n'est pas dans R. Donc f(A) est non vide.

R admet une borne supérieure dans R barre : tout réel est strictement inférieur à l'infini et l'infini est dans l'adhérence de R.