Relation de Pascal

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soient n et p des entiers naturels tels que : on a alors :



Dans la démonstration je bloque sur un point :
Soit E un ensemble de cardinal n+1, soit a un élément fixé de E. On cherche les parties à p+1 éléments de E.

Pour les parties ne contenant pas a j'ai compris, si on ne prend pas a il reste n éléments dans E donc il y en a :


Les parties contenant a sont au nombre de
J'arrive pas à comprendre pourquoi.

[hdci]

possède éléments. On fixe

Pour déterminer les parties de éléments de qui ne contiennent pas , on prend éléments dans l'ensemble qui en contient , cela fait parties possibles.

Pour déterminer de élémentsles parties de qui contiennent , il faut prendre éléments dans et on ajoute l'élément : cela fait bien possibilités.

Et une partie de de cardinal soit contient , soit ne contient pas , d'où l'égalité

[mehdi-128]

Pour déterminer de élémentsles parties de qui contiennent , il faut prendre éléments dans et on ajoute l'élément : cela fait bien possibilités.

Mais le "on ajoute a" quel est son nombre de possibilité ?

J'aurais dit :

[hdci]

est fixé (on en "choisit un" mais peu importe lequel) : et une fois qu'on a fixé , il n'y a qu'un seul .

Prenez . Vous prenez :

• il y a parties de éléments dans , donc parties de éléments dans qui ne contiennent pas
  
• il y a parties de éléments dans et quand on ajoute à ces parties cela fait \binom{n}{p} parties de éléments qui contiennent dans

Si on avait pris au lieu de , cela n'aurait rien changé du tout au décompte, on aurait eu } au lieu de mais on aurait compté exactement le même nombre de parties.

Même chose si on avait pris ou n'importe quoi d'autre inférieur à

[hdci]

J'aurais dit :

Surtout pas ! Vous compteriez autant de fois les mêmes ensembles.

Exemple avec

Nombre de parties de 2 éléments ne comportant pas 1 : il y en a une seule, c'est {2; 3}
Nombre de parties de 2 éléments comportant 1 : il y en a deux c'est {1;2} et {1;3}

• et c'est bien le nombre de parties à 1 élément pris dans {2;3}, soit {2} et {3}
• auxquelles on ajoute l'élément 1

TOTAL : 3 parties.

Nombre de parties de 2 éléments ne comportant pas 2 : il y en a une seule, c'est {1;3}
Nombre de parties comportant 2 : il y en a 2, c'est {1;2} et {2;3}
TOTAL : 3 parties.
Ce sont exactement les mêmes que dans le premier cas.

Si vous aviez multiplié par le nombre de possibilité pour a, vous auriez trouvé 1+3 *2=7 parties de 2 éléments!!

N'hésitez pas à prendre un "petit exemple" comme celui-là quand vous avez du mal à percevoir les notions plus abstraites, cela permet notamment de percevoir l'erreur de raisonnement que vous faites dans le cas abstrait (et habitue votre esprit à abstraire les cas).

[mehdi-128]

Super je comprends mieux avec l'exemple !

Est ce que ce raisonnement est juste :

Pour construire la partie à p+1 éléments contenant a, je prends une partie qui contient que a donc 1 élément. Afin de construire cette partie, je dois ajouter p éléments choisis dans E : je choisis donc p parmi n éléments dans E car a est déjà fixé.

[hdci]

Oui, c'est exactement cela ! en ajoutant "je choisis p élément dans sauf " puisqu'on a déjà pris .

[mehdi-128]

J'aurais dit :

Surtout pas ! Vous compteriez autant de fois les mêmes ensembles.

Exemple avec

Nombre de parties de 2 éléments ne comportant pas 1 : il y en a une seule, c'est {2; 3}
Nombre de parties de 2 éléments comportant 1 : il y en a deux c'est {1;2} et {1;3}

• et c'est bien le nombre de parties à 1 élément pris dans {2;3}, soit {2} et {3}
• auxquelles on ajoute l'élément 1

TOTAL : 3 parties.

Nombre de parties de 2 éléments ne comportant pas 2 : il y en a une seule, c'est {1;3}
Nombre de parties comportant 2 : il y en a 2, c'est {1;2} et {2;3}
TOTAL : 3 parties.
Ce sont exactement les mêmes que dans le premier cas.

Si vous aviez multiplié par le nombre de possibilité pour a, vous auriez trouvé 1+3 *2=7 parties de 2 éléments!!

N'hésitez pas à prendre un "petit exemple" comme celui-là quand vous avez du mal à percevoir les notions plus abstraites, cela permet notamment de percevoir l'erreur de raisonnement que vous faites dans le cas abstrait (et habitue votre esprit à abstraire les cas).

Petite question : dans votre exemple, que vaut p et n ?

Car je mélange un peu avec le p+1 parmi n+1 ...

[hdci]

Dans l'exemple, et : on cherche le nombre de parties de éléments parmi .

Le nombre de parties de 2 () éléments pris parmi 3 () est égal :

• au nombre de parties de 2 éléments pris parmi les 2 restants (puisqu'on a exclu l'élément 1)
• plus le nombre de parties de 1 élément pris parmi les 2 restants (puisqu'on va ajouter l'élément 1)

[mehdi-128]

Merci