Concernant le problème initial, j'ai effectivement l’impression que c'est faisable "de façon théorique" avec l’axiome du choix et une récurrence transfinie :
L'ensemble
des droites du plan a comme cardinal la puissance du continu (i.e. le même cardinal que R) et, modulo l'axiome du choix, on peut peut le munir d'un bon ordre de façon à ce que tout les segment initiaux aient un cardinal strictement plus petit que le continu.
- Pour la première droite (la plus petit pour la relation d'ordre), on prend deux point distincts au pif dessus.
- Puis, pour une droite quelconque, on regarde les points d'intersection de cette droite avec les droites strictement plus petites (pour la fameuse relation d'ordre) et, comme le cardinal de cet ensemble de point d'intersection est strictement plus petit que le cardinal de la droite, on peut choisir deux points sur la droite qui ne sont pas des points d'intersection.
Et je pense que ça marche tout pareil pour les droites passant par (au moins) deux points à coordonnées rationnelles : il y a un nombre dénombrable de telles droites donc on peut les énumérer
et là, à chaque étape, il n'y a qu'un nombre fini d'intersection avec les droites "précédentes" alors que si une droite contient deux points à coordonnées rationnelles, elle en contient forcément une infinité et donc on peut piocher deux points qui ne sont situés sur aucune des droites "précédentes".