En fait on peut comparer les nombres complexes, il suffit de définir une relation d'ordre, celle-ci peut être totale.
L'une des plus simples, qui prolonge l'ordre des réels, est la comparaison lexicographique : on compare les parties réelles, et si elles sont égales on compare les parties imaginaires.
Cela fait bien une relation d'ordre totale sur
l'ensemble , mais ce n'est pas une relation d'ordre total sur le
corps .
En effet, une relation d'ordre sur un corps doit respecter le fait que si
, alors
pour tout
Et cela ne marche pas dans le corps
, puisqu'avec l'ordre lexicographique,
, et
; et quand on multiplie la première iégalité par
, on trouve
ce qui est évidemment faux.
Il est facile de généraliser pour montrer qu'aucune relation d'ordre total sur
est une relation d'ordre total sur le corps
.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.