Défi : Deux points sur chaque droite

[Imod]

On relance les défis

Celui-ci du genre Sylvester m'empoisonne depuis un bon moment ( je n'ai pas de réponse ) .

Existe-t-il un ensemble de points du plan rencontrant chaque droite en exactement deux points ????

Il faut bien que je partage mes cauchemars

Amusez-vous bien quand même

Imod

[aviateur]

Existe-t-il un ensemble de points du plan rencontrant chaque droite en exactement deux points ????

Bonjour
Je n'ai pas bien compris la question. Le plan c'est ?
Chaque droite, cela veut dire n'importe quelle droite affine de .

[ffback]

C'est comme ça que je le comprend.

[Imod]

Il s'agit bien du plan et des droites du collège , c'est pour cette raison que je faisais allusion au problème de Sylvester .

Imod

[Ben314]

Salut,
Pour une fois, j'avais parfaitement compris l'énoncé, mais concernant la réponse, j'ai même pas pris un papier et un crayon vu que je vois même pas par quel bout partir...

[mathelot]

bonsoir

soit l'ensemble composé de 4 droites telles que:

deux droites parallèles horizontales distinctes avec uniquement des points
dont les deux coordonnées appartiennent à

deux droites parallèles verticales distinctes avec uniquement des points
dont les deux coordonnées appartiennent à

ça ne marche pas mais bon pour faire avancer le schmilblick

[nodgim]

Ce problème est troublant.
Supposons que l'on observe seulement les droites verticales par exemple. On a donc balayé tout le plan.
A chacune de ces droites on affecte 2 points. Cet ensemble de points est l'ensemble recherché. Difficile à imaginer que n'importe quelle autre droite va toujours couper 2 de ces points.

[chan79]

Si on prend un cercle quelconque, il coupe bien une infinité de droites en 2 points, mais pas toutes évidemment.
Y'a qu'à augmenter indéfiniment le rayon ... Ca ne marche pas, bien-sûr !

[Imod]

J'ai essayé avec des tas de courbes différentes et je suis persuadé que si solution il y a , les points seront disposés de façon complètement anarchique . Il faut plutôt regarder du côté de l'axiome du choix mais là encore ce n'est pas du tout évident

Imod

[nodgim]

Normalement, il n'y a aucune raison qu'on ne puisse pas le faire....

Modélisation complétement loufoque : Le plan est un quadrillage carré dont les mailles sont de dimension nulle.

On commence par construire un carré 1*1 (donc 2*2 points) : les 4 points sont déclarés (comme faisant partie de l'ensemble) et on fait passer les 6 droites.
On passe au carré 2*2 (3*3 points): on dessine toutes les droites qui passent par 2 points. On est obligé de déclarer des points à l'extérieur du carré (mais toujours sur le quadrillage) pour que chaque droite passe par 2 points déclarés.
Etc....
Et qu'importe qu'on ait besoin de déclarer des points toujours plus à l'extérieur du carré étudié, on a l'infini comme borne.

[pascal16]

[edit] un cercle de centre quelconque et de rayon infini

[Imod]

Demi-cercle de rayon infini , c'est quoi ???

Je n'ai pas tout compris de l'approche de Nodgim mais il me semble qu'il voit l'infini comme la fin de . Du coup je me pose ( sans aucun recul ) la question suivante : si on se limite aux droites passant par deux points de coordonnées rationnelles , peut-on choisir une partie P de ces points de façon à que toute droite passe par exactement deux points de P .

Je suis quasiment sûr que c'est impossible , alors que pour le problème initial ...

Imod

[Ben314]

Concernant le problème initial, j'ai effectivement l’impression que c'est faisable "de façon théorique" avec l’axiome du choix et une récurrence transfinie :
L'ensemble des droites du plan a comme cardinal la puissance du continu (i.e. le même cardinal que R) et, modulo l'axiome du choix, on peut peut le munir d'un bon ordre de façon à ce que tout les segment initiaux aient un cardinal strictement plus petit que le continu.
- Pour la première droite (la plus petit pour la relation d'ordre), on prend deux point distincts au pif dessus.
- Puis, pour une droite quelconque, on regarde les points d'intersection de cette droite avec les droites strictement plus petites (pour la fameuse relation d'ordre) et, comme le cardinal de cet ensemble de point d'intersection est strictement plus petit que le cardinal de la droite, on peut choisir deux points sur la droite qui ne sont pas des points d'intersection.


Et je pense que ça marche tout pareil pour les droites passant par (au moins) deux points à coordonnées rationnelles : il y a un nombre dénombrable de telles droites donc on peut les énumérer et là, à chaque étape, il n'y a qu'un nombre fini d'intersection avec les droites "précédentes" alors que si une droite contient deux points à coordonnées rationnelles, elle en contient forcément une infinité et donc on peut piocher deux points qui ne sont situés sur aucune des droites "précédentes".

[Imod]

En effet ça marche Ben

La démonstration du problème dans le cas rationnel est bien plus facile à comprendre si on a , comme moi , un peu perdu de vue les bons ordres , les ordinaux et autres subtilités : il s'agit d'une simple récurrence sur les "bonnes" droites .

Je me doutais qu'il y avait une démonstration simple , encore fallait-il la voir , bravo !!!

Imod

[ffback]

Bravo, ça a l'air de marcher, à des nuances près: il faut pas regarder juste les droites plus petites, mais aussi toutes les autres droites que l'on peut construire avec les points déjà construits, et distinguer quelques cas suivant le nombre de points construits par lequel passe la droite.

[Imod]

Oui , ce n'est pas si simple mais l'idée est vraiment là , l'idéal serait de rédiger une solution complète dans le cas rationnel . Après il est clair qu'on peut généraliser aux réels

Imod

[Ben314]

Oui, en fait, j’étais tellement réveillé que j'ai même pas fait gaffe que quand on rajoute des points, il faut non seulement que ça ne fasse pas un troisième point sur les droites "d'avant", mais aussi que ça ne fasse pas 3 points alignés pour les droits "d'après".

Mais bon, c'est pas trop visuel comme truc (bien que ce soit constructif dans le cas de Q vu qu'on a pas besoin de l'axiome du choix) et je me demande s'il y une solution plus axée sur du dessin...

[ffback]

Comme dit Imod, ce serait étonnant. Par définition, l'ensemble est la réunion de deux graphes. J'ai montré aisément que ça ne peut pas être deux graphes de fonctions continues (l'hypothese entraine ensuite qu'elles sont convexes ou concaves, et après on peut jouer avec les tangentes). J'ai pas checké avec des fonctions continues par morceaux, mais à mon avis des arguments du même genre montrent que c'est pas faisable non plus. Mesurables peut être? mais si je devais miser, mon avis personnel est que tu as déjà trouvé la meilleure régularité possible de l'ensemble

[nodgim]

En fait, Ben ne fait qu'ajouter 1 point à la fois.
Aux 2 premiers points, on trace une seule droite, au kième point, k-1 droites supplémentaires. La seule précaution à prendre est de placer les points entre les lignes.

[Imod]

Ce n'est pas si simple Nodgim , essaie de rédiger complètement la démonstration ( construire l'ensemble des points droite par droite ) et tu vas voir que même dans le cas où on ne s'occupe que des droites passant par deux points à coordonnées rationnelles , il y a pas mal de précautions à prendre . Par exemple , chacune des droites traverse une infinité de points à coordonnées rationnelles : il faut bien mettre de l'ordre dans cet infini

Imod