Courbes paramétré

[wilfred1995]

Bonsoir à vous , j'ai besoin de bien comprendre cet exercice notre professeur n'a pas pu faire cours sur ce chapitre et nous allons composé dessus je lis les pdf mais je ne m'en sors lors de la pratique. Merci

Soit la fonction vectorielle suivante:

1) montrer que le domaine d'étude peut se réduire à

2) déterminer les points singuliers et étudier la nature.

3) étudier les variations de et et dresser le tableau de variation commun.

4) tracer avec soin la courbe sur

[aviateur]

Bonjour
Rien de compliqué ici.
1. J'aurai même dit que l'on peut se réduire à
D'abord f est périodique donc on travaille sur
Ensuite on peut chercher les symétries de

f(-t)=(x(-t),y(-t))=(x(t),-y(t)) f(-t) est le symétrique orthogonal de f(t) par rapport à Ox, donc
admet donc Ox comme axe de symétrie et on peut réduite l'étude à

Mais on a =.... (je te laisse compléter)
donc admet donc Oy comme axe de symétrie et on peut réduite l'étude

On a aussi (mais c'est pas demandé) on en tire encore une symétrie (je te laisse deviner) qui fait que l'étude aurait pu être faite sur

2. Les points singuliers on ne cherche que ceux qui correspondent à l'intervalle

(voire ) les autres s'obtiennent par les symétries de la courbe.

On a pour et Pour t=
évidemment la nature sera la même que pour t=0 (suite à ma remarque)

Pour t=0, on a
La courbe admet un point de rebroussement de première espèce.

3. Pour le tableau de variation sur c'est facile car et x décroit alors que y croit. Compléter les extrémités.

4. On s'occupe d'abord du tracé pour puis on complète par symétrie.
Quelques points :


Pour un tracé plus précis, il faudrait étudier pour chaque la position de la courbe par rapport à la tangente.
C'est pas inutile non plus de voir que sur ce domaine on a

Au final on a une figure qui ressemble à un carreau (du jeu de carte)