Salut,
Je trouve quand même que vous vous faîtes c... pour pas grand chose vu que :
1) Comme le dit hdci, c'est un résultat totalement évident partant de la commutativité et de l’associativité qui, à elle deux, disent que le somme de 3 éléments ne dépend pas de l'ordre dans laquelle on fait la somme.
2.1) On a déjà besoin de l'associativité ne serait-ce que pour définir le symbole
vu que pour une loi + non associative, la quantité
sans parenthèses
n'a pas de sens. Donc si on veut absolument tout démontrer alors avant
même d'utiliser le symbole , ben il faudrait commencer par démontrer que l'associativité implique que dans toute somme de la forme A1+A2+...+An, où que l'on place les parenthèses pour n'avoir que des sommes 2 par 2, ça donne le même résultat c'est à dire par exemple que :
((A+B)+C)+D = (A+B)+(C+D) = (A+(B+C))+D = A+((B+C)+D) = A+(B+(C+D))
2.2) La deuxième solution, c'est de définir le symbole
par récurrence et donc de prendre comme définition que
ce qui permet de lui donner du sens même en cas de non associativité de la loi, et dans ce cas là, la preuve proposée çi dessus (qui fait des sommes de plus de 2 termes) ne marche pas
3) En supposant déjà démontré le point relatif à l'associativité qui permet de définir le symbole
sans préciser la position des parenthèses, concernant la commutativité et l'ordre des facteurs, c'est évident vu que le groupe cyclique d'ordre n est trivialement engendré par les transpositions de deux éléments successifs (tu peut évidement ranger des objets alignés du plus petit au plus grand en ne t'autorisant que des échanges de deux objets côte à côte). Et à mon avis, cet argument on ne peut plus simple et clair et largement préférable à toute soit-disant démonstration calculatoire qui ne contiendra forcément que du vent...