Salut,
Si A est un anneau commutatif unitaire, U(A) désigne le groupe (multiplicatif) des éléments inversibles de A.
Et pour répondre à "l'exercice" (qui est quasiment du cours), il suffit de connaître la définition du produit de deux séries formelles :
où
pour tout
Puis, bien évidement, de regarder ça comme un système d'équations à résoudre : on connaît les
et on cherche les
de façon à ce que
et
pour tout
.
Or, comme le système est linéaire et "triangulaire" (i.e. l'équation
ne contient que les inconnues
), il est trivial à résoudre et on voit immédiatement qu'il faut (et qu'il suffit) que
soit inversible (i.e. qu'il soit dans
) pour qu'il y ait une solution (bien évidement unique).