Nombre irrationnel

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je bloque sur des points de cette démonstration pour montrer que est irrationnel si n n'est pas un carré parfait.

Supposons que n ne soit pas un carré parfait, alors . Cet entier n admet donc au moins un diviseur premier p avec une puissance impaire.



Pourquoi une puissance impaire forcément ? Ca veut dire quoi un nombre premier avec une puissance impaire ?

Ensuite, raisonnons par l'absurde et supposons que est rationnel. Il existerait alors des entiers naturels a et b non nuls tels que et :



Pourquoi nécessairement a>b ?

On obtiens alors

Cette égalité implique que la décomposition en produits de facteurs premiers de et contient le diviseur premier p de n.

Et là je comprends plus rien ci-dessous :

On constate que le nombre premier p apparait avec une puissance impaire pour et avec une puissance paire pour



Comment on peut savoir à quel puissance apparaît le nombre premier p ? Pourquoi c'est impair pour dt pair pour ?

Merci d'avance.

[LB2]

Bonsoir mehdi-128,

pour comprendre à quelle puissance apparaît p, on écrit la décomposition en facteurs premiers.

Par hypothèse p apparaît avec une puissance impaire dans n (cf point 1. , sinon n serait un carré parfait)
Mais p apparaît avec une puissance paire dans b^2, puisque b^2 est un carré.
Donc p apparaît avec une puissance impaire dans nb^2 (impair + pair = impair)
Même raisonnement pour a^2.

A bientôt

[Elias]

Salut, je me permets de compléter la réponse de LB2 en reprenant point par point les interrogations.

Supposons que n ne soit pas un carré parfait, alors . Cet entier n admet donc au moins un diviseur premier p avec une puissance impaire.



Pourquoi une puissance impaire forcément ? Ca veut dire quoi un nombre premier avec une puissance impaire ?

Ça veut dire que dans la décomposition de en produit de facteurs premiers, ()le diviseur premier apparaît d'une part (car p divise n), c'est à dire que c'est l'un des et sa puissance est impaire.

Ensuite, tu poses la question de pourquoi ?
En fait, si tu prends un entier n de décomposition en facteurs premiers , alors il est très facile de comprendre que :
est un carré parfait si et seulement si tous les sont pairs. (**)

Admettant ceci un instant, il est donc clair que si n n'est pas un carré parfait,alors c'est que l'un au moins de ses diviseurs premiers apparaît avec une puissance impaire.

Démo de (**)
:
Si tous les sont pairs, ils s'écrivent et donc, on a :



:
Si n = m^2, en écrivant la décomposition en facteurs premiers de m: , on a alors :


Par unicité d'une telle décomposition, on voit bien que les puissances apparaissant dans la décomposition de n sont paires.

Ensuite, raisonnons par l'absurde et supposons que est rationnel. Il existerait alors des entiers naturels a et b non nuls tels que et :



Pourquoi nécessairement a>b ?

Comme et donc donc

Et là je comprends plus rien ci-dessous :

On constate que le nombre premier p apparait avec une puissance impaire pour et avec une puissance paire pour



Comment on peut savoir à quel puissance apparaît le nombre premier p ? Pourquoi c'est impair pour dt pair pour ?

Merci d'avance.

Bonsoir mehdi-128,

pour comprendre à quelle puissance apparaît p, on écrit la décomposition en facteurs premiers.

Par hypothèse p apparaît avec une puissance impaire dans n (cf point 1. , sinon n serait un carré parfait)
Mais p apparaît avec une puissance paire dans b^2, puisque b^2 est un carré.
Donc p apparaît avec une puissance impaire dans nb^2 (impair + pair = impair)
Même raisonnement pour a^2.

A bientôt

[Elias]

Sinon, j'apporte une autre réponse (qui est une autre démo de l'irrationnalité de )

On suppose que n n'est pas un carré parfait et donc que avec a,b entiers non nuls et premiers entre eux.

Alors donc divise .

Il est facile de se convaincre que (en regardant les.décomposition en facteurs premiers: pgcd(a b)=1 implique que a et b n'ont aucun nombre premier en commun dans leurs décompositions. Si c'est le cas, c'est donc aussi le cas de a^2 et b^2 puisqu'on ne fait que multiplier les puissances par 2 en élevant au carré).


Mais alors, on a pgcd(a^2,b^2)= 1 et b^2 divise a^2. Cela entraîne donc b^2 = 1 et donc b=1.

D'où donc entier donc n carré parfait. Contradiction.

Remarque: le raisonnement par l'absurde n'est pas obligatoire ici (on peut raisonner par contraposée).

[mehdi-128]

Merci beaucoup Elias pour la réponse rapide.

Je ne connaissais pas le résultat suivant, l'auteur ne l'a pas donné :

n est un carré parfait si et seulement si tous les sont pairs.

Puis je l'ai encore mieux compris avec votre démo

[mehdi-128]

Ah j'ai oublié de dire, encore une chose qui me bloque :

p divise n donc p divise

Mais pourquoi vous utiliser le fait que p divise n ET ?

J'ai pas compris. Car vous dites que p apparait dans une puissance paire de p^2 et impaire de n.

Comment p peut aparaitre dans la décomposition de alors qu'on sait pas s'il divise ?

[Elias]

En fait, quand on dit que p apparaît avec une puissance paire dans b^2, ça veut pas forcément dire que p divise b^2 car ça inclut aussi le cas où cette puissance serait 0 (0 est pair) et dans ce cas, p ne diviserait pas b (ce qui revient à dire qu'il apparaît avec la.puissance 0: p ^ 0 = 1)

Mais si on veut être plus clair, on peut distinguer deux cas, ça prêtera en effet moins à confusion :

soit p divise b^2 et donc il apparaît avec une puissance paire (non nulle) car b^2 est un carré

soit p.ne divise pas b^2 et donc il n'apparaît carrément pas dans la décomposition de b^2 donc dans la décomposition de n b ^2, il apparaît avec une puissance impaire car il apparaît avec une puissance impaire dans n + le fait qu'il n'apparaît pas dans b^2.

Du coup on continue le raisonnement en disant que c'est contradictoire avec le fait qu'il apparaît avec une puissance paire dans a^2

[mehdi-128]

Mais du coup, si p divise et pas n, p apparait avec une puissance paire et aussi.

Il n'y a plus de contradiction !

Donc on peut plus montrer le théorème ?

[LB2]

p divise n par hypothèse, on l'a choisi comme ça au début!

[mehdi-128]

Ah merci !

Un petit détail me chagrine, D'après Elias, "si n n'est pas un carré parfait,alors c'est que l'un au moins de ses diviseurs premiers apparaît avec une puissance impaire."

Vu que n n est n'est pas un carré parfait qui nous dit que c'est le diviseur p en particulier qui va apparaître avec une puissance impaire et pas un autre ?

[hdci]

Vu que n n est n'est pas un carré parfait qui nous dit que c'est le diviseur p en particulier qui va apparaître avec une puissance impaire et pas un autre ?

On choisit d'appeler un des diviseurs qui est à une puissance impaire.

On a où les sont premiers distincts eux à eux.

Et l'un de ces diviseurs est de puissance impaire : donc est impair

On décide alors d'appeler

Mais on aurait tout aussi bien pu continuer de l'appeler , c'est juste que la partie où on décompose n en facteurs premiers est assez triviale quand on en a l'habitude, on ne prend plus la peine de l'écrire et on dit simplement "l'un des diviseurs premiers de est de puissance impair"

[mehdi-128]

Merci j'ai compris

J'aimerais revenir sur un petit détail de logique :

" n est un carré parfait si et seulement si tous les sont pairs. (**)

Admettant ceci un instant, il est donc clair que si n n'est pas un carré parfait,alors c'est que l'un au moins de ses diviseurs premiers apparaît avec une puissance impaire."

Je pars de l'équivalence, je m'intéresse à :
n est un carré parfait (P) tous sont pairs. (Q)

Donc si je suppose P faux comment prouver que ça va impliquer que Q est faux. Il faut que je regarde la table de vérité de l'implication ?

[hdci]

Pour démontrer une équivalence, souvent on démontre les deux implications (sens direct et réciproque).

La réciproque est immédiate : si toutes les puissances son paires on arrive bien à un entier élevé au carré, donc tous les sont pairs est un carré parfait

Il s'agit donc de démontrer

n est un carré parfait (P) tous sont pairs. (Q)

Attention !

Donc si je suppose P faux comment prouver que ça va impliquer que Q est faux. Il faut que je regarde la table de vérité de l'implication ?

Non, si l'hypothèse est fausse, dans une implication, on ne sait rien dire de la conclusion !

exemple :
si est faux, on peut avoir aussi bien avec et avec

Pour démontrer cette implication, il faut écrire avec un nombre entier (définition du "carré parfait"), puis et on a alors ce qui montre bien que les sont pairs.

Attention toutefois : cela ne suffit pas à montrer que est irrationnel si n'est pas un carré parfait !

[mehdi-128]

Je vois, j'ai compris la démonstration d'Elias je demandais, vu qu'Elias a démontré l'équivalence :

tous sont pairs n est un carré parfait

Par contraposée :

n n'est pas un carré parfait Il existe un impair

[LB2]

Oui, mais attention, l'implication " n'est pas un carré parfait il existe un impair" est la contraposée de l'implication "tous les sont pairs est un carré parfait" et pas de l'équivalence.

[mehdi-128]

En effet, bien vu