Montrer que
Cordialement,
Dacu
Une intégrale
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Une intégrale
par Dacu » 08 Juil 2018, 07:13
Bonjour à tous,
Montrer que^{2009}+(1-x)^{2009}}{1+x^2}dx)
est un nombre irrationnel.
Cordialement,
Dacu
Montrer que
Cordialement,
Dacu
Et DIEU dit :<<La lumière soit !>> Et la lumière fut.
Re: Une intégrale
par Pseuda » 08 Juil 2018, 10:06
Bonjour,
Si on a vu la division des polynômes (pas vu au niveau lycée), le dénominateur ne divise pas le numérateur (car les racines i et -i de l'un ne sont pas racines de l'autre).
Donc la fraction s'écrit : P + R/(x^2+1), avec P polynôme et R de degré <=1. On obtient du entier + ln + arctan entre 0 et 1 (pas vu au niveau lycée). A terminer... (pas le courage).
Si on a vu la division des polynômes (pas vu au niveau lycée), le dénominateur ne divise pas le numérateur (car les racines i et -i de l'un ne sont pas racines de l'autre).
Donc la fraction s'écrit : P + R/(x^2+1), avec P polynôme et R de degré <=1. On obtient du entier + ln + arctan entre 0 et 1 (pas vu au niveau lycée). A terminer... (pas le courage).
Re: Une intégrale
par aviateur » 08 Juil 2018, 10:46
Bonjour
Comme on est en 2018, tu peux poser la même question en remplaçant 2009 par 2018 et irrationnel par rationnel.
Comme on est en 2018, tu peux poser la même question en remplaçant 2009 par 2018 et irrationnel par rationnel.
Re: Une intégrale
par aymanemaysae » 11 Juil 2018, 11:06
Bonjour ;
On a :
^{2009} = {\sqrt 2}^{2009} \exp(i2009 \dfrac{\pi}{4})={\sqrt 2}^{2009} \exp(i \dfrac{\pi}{4}))
et
^{2009} = {\sqrt 2}^{2009} \exp(-i2009 \dfrac{\pi}{4})={\sqrt 2}^{2009} \exp(-i \dfrac{\pi}{4}))
donc :
^{2009} + (1 - i)^{2009} = {\sqrt 2}^{2009} \exp(i \dfrac{\pi}{4}) + {\sqrt 2}^{2009} \exp(-i \dfrac{\pi}{4}))
 + \exp(-i \dfrac{\pi}{4})) = {\sqrt 2}^{2011} \cos(\dfrac{\pi}{4}) = {\sqrt 2}^{2010} \ne 0 \ .)
Donc la fonction polynomiale définie sur
et d'expression algébrique : ^n + (1-x)^n)
n'admet pas i comme racine .
Et comme cette fonction polynomiale est paire , donc elle n'admet pas aussi - i comme racine , donc (1 + x²) ne la divise pas .
On a :
^{2009} = \Sum_{p=0}^{2009} \binom {2009}{p} x^p)
et
^{2009} = \Sum_{p=0}^{2009} \binom {2009}{p} (-1)^p x^p)
donc :
^{2009}+(1-x)^{2009} =\Sum_{p=0}^{2009} \binom {2009}{p} x^p +\Sum_{p=0}^{2009} \binom {2009}{p} (-1)^p x^p)
^p x^p) = \Sum_{p=0}^{1004} \binom {2009}{2p} x^{2p})
donc :
^{2009}+(1-x)^{2009} }{1+x^2} = P(x) + \dfrac{R(x)}{1+x^2})
avec \in \mathbb{R}[X] \times \mathbb{Z}[X])
et  = 0)
, donc on a :  = \mathfrak C \in \mathbb Z^* .)
Conclusion :
^{2009}+(1-x)^{2009} }{1+x^2} dx = \int_0^1 (P(x) + \dfrac{\mathfrak C}{1+x^2})dx)
 + \mathfrak C\ atan(x) \big ]_0^1 = \mathfrak P(1) - \mathfrak P(0) + \mathfrak C\ atan(1) = \mathfrak P(1) - \mathfrak P(0) + \mathfrak C \dfrac{\pi}{4})
: avec 
donc :^{2009}+(1-x)^{2009} }{1+x^2} dx)
est un nombre irrationnel .
On a :
et
donc :
Donc la fonction polynomiale définie sur
Et comme cette fonction polynomiale est paire , donc elle n'admet pas aussi - i comme racine , donc (1 + x²) ne la divise pas .
On a :
et
donc :
donc :
avec
Conclusion :
donc :
Modifié en dernier par aymanemaysae le 11 Juil 2018, 15:33, modifié 1 fois.
Re: Une intégrale
par aviateur » 11 Juil 2018, 12:00
Bonjour
Pour être encore plus direct, il n'est pas besoin de faire autant de calcul, il faut tenir compte de l'indication de @pseuda qui dit que la réponse dépend de la connaissance du reste.
Or ce reste est effectivement une constante a (du fait de la parité du num. et du dénom) et^n+(1+i)^n=2Re[(1+i)^n].)
La rationalité (ou non rationalité ) de l'intégrale est égal à la rationalité (ou non) de^2dx=a \pi /4.)
Maintenant c'est évident que l'argument de^n\; \;=n\pi /4)
Donc la réponse dépend de la congruence de n modulo 4 (ou seulement 2).
Remplacer 2009 par 2018 ne change pas le travail (mais seulement la réponse).
Pour être encore plus direct, il n'est pas besoin de faire autant de calcul, il faut tenir compte de l'indication de @pseuda qui dit que la réponse dépend de la connaissance du reste.
Or ce reste est effectivement une constante a (du fait de la parité du num. et du dénom) et
La rationalité (ou non rationalité ) de l'intégrale est égal à la rationalité (ou non) de
Maintenant c'est évident que l'argument de
Donc la réponse dépend de la congruence de n modulo 4 (ou seulement 2).
Remplacer 2009 par 2018 ne change pas le travail (mais seulement la réponse).
Re: Une intégrale
par Pseuda » 11 Juil 2018, 13:08
Bonjour,
Cela donne (sauf erreur)-P(0)+a\dfrac{\pi} {4})
, avec ^{n+2} \cos (\dfrac{n \pi} {4}))
. Encore faut-il discuter de l'irrationalité de 
selon les valeurs de n. C'est immédiat pour n=2009.
Cela donne (sauf erreur)
Re: Une intégrale
par aymanemaysae » 11 Juil 2018, 15:34
Bonjour ;
Merci pour vos remarques pertinentes : je viens de les prendre en considérations .
Merci pour vos remarques pertinentes : je viens de les prendre en considérations .
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