Dimensions d'une figure plane

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stephaneschwarcz
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Dimensions d'une figure plane

par stephaneschwarcz » 05 Juil 2018, 15:47

A partir de l'hypothénuse d'un triangle rectangle de cotés x et y on trace un demi cercle dont le diamètre est cette hypothénuse . On forme donc une figure plane.

Sachant que sa surface est "S " et son périmètre " P " existe t'il une solution Analytique pour trouver x et y en fonction de P et de S .



Elias
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Re: Dimensions d'une figure plane

par Elias » 05 Juil 2018, 16:03

stephaneschwarcz a écrit:A partir de l'hypothénuse d'un triangle rectangle de cotés x et y on trace un demi cercle dont le diamètre est cette hypothénuse . On forme donc une figure plane.

Sachant que sa surface est "S " et son périmètre " P " existe t'il une solution Analytique pour trouver x et y en fonction de P et de S .


Je ne comprends pas à quoi sert la phrase rouge. Et puis "dont LE diamètre" c'est faux car un cercle n'a pas qu'un diamètre.
Donc on peut reformuler la question de la façon suivante : on considère un triangle ABC rectangle en A. On note x := AB, y :=AC, S l'aire du triangle et P son périmètre.

On a alors :



La première égalité implique , soit , soit en développant.

En simplifiant et en remplaçant par , on obtient :



En prenant maintenant les deux égalités et (en exprimant en fonction de dans la deuxième et en remplaçant dans la première), on devrait pouvoir se débrouiller.


EDIT : en fait j'avais pas compris la question, je pensais que S était la surface du triangle et P le périmètre du triangle.
Désolé.
Modifié en dernier par Elias le 05 Juil 2018, 16:17, modifié 1 fois.
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hdci
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Re: Dimensions d'une figure plane

par hdci » 05 Juil 2018, 16:14

M'est avis qu'ici il faut ajouter la surface du demi-disque et le périmètre du demi-cercle (la figure étant constituée du triangle et du demi-cercle), ce qui donne



(Correction apportée, merci mathelot :D )
Modifié en dernier par hdci le 05 Juil 2018, 21:00, modifié 1 fois.
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stephaneschwarcz
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Re: Dimensions d'une figure plane

par stephaneschwarcz » 05 Juil 2018, 17:24

Oui en effet il faut ajouter la surface et le perimetre du demi cercle à celle du triangle...et la ça a se corse... je vais soumettre à wolfram mais j aimerai avoir votre approche.

stephaneschwarcz
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Re: Dimensions d'une figure plane

par stephaneschwarcz » 05 Juil 2018, 18:11

Pour la solution du triangle rectangle (Sans le demi cercle) la solution est quand même assez lourde

x=(p^2-sqr(p^4-40*P^2+16*S^2)-4*S)/4*P ; y=(p^2+sqr(p^4-40*P^2+16*S^2)-4*S)/4*P

Donc avec le cercle ça se compliquera .

(Désolé je maitrise mal pour le moment l'editeur de maths)

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Re: Dimensions d'une figure plane

par ffback » 05 Juil 2018, 19:00

Salut,

Si je dis pas de bétises, dans le systeme donné par Hdci, z=x+y vérifie une équation de degré 2: par exemple en faisant dans la deuxieme équation pour virer la racine, en remplaçant dans les deux équations x²+y² par z²+2xy puis en éliminant les xy en faisant une combi des deux équations.

Une fois qu'on a z, on trouve x et y avec une nouvelle équation de degré 2. Tout ça va donner des racines imbriquées assez moches, mais apriori ça va donner une formule.

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Re: Dimensions d'une figure plane

par mathelot » 05 Juil 2018, 19:45

Image

l'hypoténuse ne compte pas dans le périmètre..
Modifié en dernier par mathelot le 05 Juil 2018, 20:15, modifié 1 fois.

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Re: Dimensions d'une figure plane

par stephaneschwarcz » 05 Juil 2018, 20:12

Oui c est la figure exacte. Mais je ne suis pas sur qu il y a une solution analytique du style.

x= f( P, S ) et y =g( P, S )

A voir avec Wolfram

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Re: Dimensions d'une figure plane

par mathelot » 05 Juil 2018, 20:31

hdci a écrit:M'est avis qu'ici il faut ajouter la surface du demi-disque et le périmètre du demi-cercle (la figure étant constituée du triangle et du demi-cercle), ce qui donne



je trouve



??

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Re: Dimensions d'une figure plane

par stephaneschwarcz » 05 Juil 2018, 20:45

Tout a fait d accord pour le dernier systeme d equation, la resoudre est une autre affaire

hdci
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Re: Dimensions d'une figure plane

par hdci » 05 Juil 2018, 20:59

Oui c'est bien divisé par 8 et pas par 4 (l'hypoténuse étant le diamètre et pas le rayon). Je corrige mon premier message.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

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Re: Dimensions d'une figure plane

par ffback » 05 Juil 2018, 21:01

J'ai précisé comment le résoudre. Aprés faut effectivement être pas mal courageux pour aller jusqu'au bout du calcul. Pour le début, en suivant ce que j'ai dit, sauf erreur de calcul ça donne que vérifie l'équation:

.

Je laisse qui est suffisament motivé poursuivre pour déduire une formule pour z puis pour x et y.

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Re: Dimensions d'une figure plane

par stephaneschwarcz » 06 Juil 2018, 21:10

J'ai soumis à Wolfram Mathématica le système d'équation, et apparemment il n'y a pas de solution analytique

nodgim
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Re: Dimensions d'une figure plane

par nodgim » 07 Juil 2018, 10:43

Ben si ça se résout. Ce n'est pas simple, mais on y arrive. Comme quoi, Wolfram Mathématica ne sait pas tout faire.
On y arrive en remplaçant x²+y² par (x+y)² - 2xy, en isolant xy dans les 2 équations pour les supprimer et on obtient un (x+y)² a + b(x+y) + c = 0
et on a une expression xy = f(x+y)²
Et donc en connaissant le produit xy et la somme x+y, on en déduit x et y.

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Re: Dimensions d'une figure plane

par stephaneschwarcz » 07 Juil 2018, 10:45

Je vais voir ça

 

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