Aide corrigé examen chapitle DL

[mohamedjerbi]

je veut aide résoudre cet examen specialement partie 2 de question 2
https://docs.google.com/presentation/d/ ... sp=sharing

[LB2]

Bonsoir,

un équivalent de arctan(1/x) en 0+, c'est la même chose qu'un équivalent de arctan(u) en + l'infini, c'est une limite connue, non?

[mohamedjerbi]

peut etre pi/2 pas sure

[mohamedjerbi]

Bonsoir,

un équivalent de arctan(1/x) en 0+, c'est la même chose qu'un équivalent de arctan(u) en + l'infini, c'est une limite connue, non?

[LB2]

peut etre pi/2 pas sure

Oui c'est ça

[mohamedjerbi]

peut etre pi/2 pas sure

Oui c'est ça

limite de arctan en +infinie

[pascal16]

dommage que l'énoncé ne soit pas plus facile à lire.
De loin, je croyait qu'ils avaient oublier le cas 0- pour la continuité en 0, mais faut bien comprendre à quoi sert la première question sur la parité et ce que ça veut dire sur les conclusions qu'on peut en tirer sur f et f' en étudiant f seulement en 0+.

C'est très facile de dire "par parité", mais quand on dérive une ou plusieurs fois, la parité change et il est facile de se tromper alors qu'un calcul 0+ vs 0- évite de se tromper d'un signe

[mohamedjerbi]

dommage que l'énoncé ne soit pas plus facile à lire.
De loin, je croyait qu'ils avaient oublier le cas 0- pour la continuité en 0, mais faut bien comprendre à quoi sert la première question sur la parité et ce que ça veut dire sur les conclusions qu'on peut en tirer sur f et f' en étudiant f seulement en 0+.

C'est très facile de dire "par parité", mais quand on dérive une ou plusieurs fois, la parité change et il est facile de se tromper alors qu'un calcul 0+ vs 0- évite de se tromper d'un signe

je veut une response pour tous les question de partie 2 étape par étape pour le compadres

[pascal16]

dis-nous comment tu le rédigerais, on va corriger en citant chaque point important.

[mohamedjerbi]

1/
on a arctan est un fonction impaire donc f(x)=x².arctan(1/x) est impaire

[mohamedjerbi]

2/(a)
on pose u=1/x
u->+infinie
x->0+
arctan(u) equi en +inifnie a pi/2
=> 1/u.arctan(u) equi en +inifnie a 0
=> f(x) equi en 0+ a 0

[mohamedjerbi]

(b)
lim f(x)=0 et on a f(0)=0
x->0
donc f est prolongable par continuité en 0
f'(x)=2xarctan(1/x)-(x²/1+x²)
lim f'(x)=lim f'(x)=0
x->0+ x->0-
f'(0)d=f'(0)g=0 donc f est dérivable en 0
puis il me dit calculer f'(x) se que j'ai deja fait pour montrer que f est dérivable en 0

[pascal16]

2a) je ne lis pas bien la fonction, mais c'est pas x²arctan(1/x) ?

arctan(1/x) équivalent à pi/2 en 0+ comme tu l'as bien rédigé

x²arctan(1/x) est équivalent à x²*pi/2 en 0+ (composition d'équivalents)

d'où sa limite nulle en 0+

f impaire, elle a donc aussi une limite nulle en 0-.

2b) d'après 2a, f est donc continue en 0 en posant f(0)=0.

NB : pour f'(0), c'est soit la fonction dérivée de f évaluée en x=0, soit le nombre dérivé de f calculé par d'autres moyens comme la limite du taux d’accroissement

[mohamedjerbi]

3/
on a
la développement limité de arctan en 0
arctan(u)=u+o(x)
u=1/x
u->0
x->+infinie
f(u)=1/u²(u-u^3/3+o(u))
f(x)=x²(1/x-1/3x^3+o(1/x^3))=x-1/3x+o(1/x)=ax+b+c/x+o(1/x)
par identification
a=1
b=0
c=-1/3
lim f(x)=0 donc f admet une asymptote au v de +infinie equation
x-+infinie
symbole de delta :y=0
... je sait pas ou est la position

[mohamedjerbi]

2a) je ne lis pas bien la fonction, mais c'est pas x²arctan(1/x) ?

arctan(1/x) équivalent à pi/2 en 0+ comme tu l'as bien rédigé

x²arctan(1/x) est équivalent à x²*pi/2 en 0+ (composition d'équivalents)

d'où sa limite nulle en 0+

f impaire, elle a donc aussi une limite nulle en 0-.

2b) d'après 2a, f est donc continue en 0 en posant f(0)=0.

NB : pour f'(0), c'est soit la fonction dérivée de f évaluée en x=0, soit le nombre dérivé de f calculé par d'autres moyens comme la limite du taux d’accroissement

NB : pour f'(0), c'est soit la fonction dérivée de f évaluée en x=0, soit le nombre dérivé de f calculé par d'autres moyens comme la limite du taux d’accroissement
donc je peut rédiger
lim (f(x)-f(0))/x-0=lim xarctan(1/x)=0
x->0 x->0

[pascal16]

f'(x)=2xarctan(1/x)-(x²/1+x²)

de la même manière que 2a,
2xarctan(1/x) est équivalent à pi.x au voisinage de 0+, donc tend vers 0 en 0+
(x²/(1+x²)) tend vers 0 en 0+[/b]
-> attention ici, on ne fait pas de soustraction de DL sans utiliser de notation de "petit o" car sinon, on ne sait pas si la formule trouvée est d'un ordre plus fort ou plus faible que la précision du calcul.
-> donc passer d'abord par la limite puis par la soustraction, ça marche

donc la limite de f'(x) en 0+ est 0.
par parité de f' (car f est impaire), on a que la limite de f'(x) en 0+ est 0.
donc f' est dérivable en 0 en posant f'(0)=0

[pascal16]

lim (f(x)-f(0))/x-0=lim xarctan(1/x)=0
x->0 x->0

oui, c'est même comme cela que l'auteur pensait le faire, dis juste que c'est en utilisant le même équivalent qu'en 2a. Il fallait de toute façon repasser par la limite et surtout ne pas faire une soustraction au pif d'équivalents

[pascal16]

arctan(u)=u-u^3/3+o(u^3) quand u->0
posons u=1/x, quand x tend vers +oo, u tend vers 0+

rédige plutôt avec x que u comme variable

en +oo, on a
f(x)=x²(1/x-1/3x^3+o(1/x^3))=x-1/3x+o(1/x)

par identification
a=1
b=0
c=-1/3
non {
lim f(x)=0 donc f admet une asymptote au v de +infinie equation
x-+infinie symbole de delta :y=0}

lim f(x)-x=0 en +oo
donc f admet en +oo la droite delta d'équation y=x comme asymptote

c=-1/3
le terme dominant suivant le "ax+b" est-il négatif ou positif ?
f s'écrit donc x + quelque chose de .....
donc f est donc ...... de y=x

[mohamedjerbi]

4/
g(x)*x=f'(x) facile a montrer
(a)
g'(x)=-2/1+x²-2x/(1+x²)² plusieurs détail...
(b)
lim g(x)=lim 2arctang(1/x) -lim x/1+x² =pi-0=pi
x->0+ x-0+
lim g(x)= ?
x->+infinie
lim 2arctan(1/x)=0
x->+infinie
lim x²/1+x²=lim 1/(1/x²)+1=lim 1 / lim 1/x²+1=1/1=1
x->+infinie
lim g(x)=0-1=-1
x->+infinie

[pascal16]

lim g(x)=lim 2arctang(1/x) -lim x/1+x² =pi-0=pi
x->0+ x-0+

c'est juste, mais on peut rédiger un peu plus "pro" :

lim 2arctang(1/x)=pi, à l'aide des même équivalent qu'en 2a
x->0+

lim x/1+x² =0
x->0+

donc
lim g(x)=pi par composition de limites
x->0+