Encadrement

[Ben314]

Salut,
Tout le monde sait que pour tout entier naturel , on a : .
Mais jusqu'où faut-il sommer pour avoir une idée de la valeur de la somme (en particulier si est grand) ?
En fait, et bizarrement, si on somme jusqu'à , on a fait à peu prés la moitié du chemin . . .

Plus précisément, montrer que :


P.S. : j'ai pas encore cherché la solution . . .

[ffback]

Salut.

Alors, ça répond pas vraiment á la question, mais j'ai obtenu
.
Soit avec du gros calcul (Taylor avec R.I., Stirling, développement assymptotique d'integrales), soit par une interprétation probabiliste (loi de Poisson)

Of course, ce que tu demandes est bien plus précis

[aviateur]

Bonjour
Je n'ai pas la solution mais je montre que ce problème est équivalent à celui-ci:
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans de densité
dont on peut calculer facilement la moyenne i.e .
Alors on a et
Ce second problème est (je pense car j'ai un peu survolé) résolu si on arrive a montrer que
tend vers 1/2 quand n tend vers l'infini, mais ça est-ce facile a montrer?

[aviateur]

Bonjour
@Pseuda je crains qu'en utilisant la comparaison série intégrale de retomber sur le problème initial.

[aviateur]

Finalement je crois avoir la réponse, en effet il me reste à montrer que tend vers 1/2. Mais on peut montrer (ou bien c'est classique?) que la fonction dans l'intégrale est la densité de
la somme de n variables aléatoires indépendantes et suivant la même loi exponentielle de paramètre 1.
Alors la limite s'obtient grâce au th central limite.

[ffback]

Salut
C'est effectivement ce que j'appelais la preuve probabiliste. (Edit:pas tout á fait en fait. Je passe par des lois de Poisson lá oú tu passes par des lois exponentielles. J'imagine que ça revient au même pour je ne sais quelle raison)

Par le calcul direct, je pense que le plus rapide est de faire les changements de variable puis . En sortant les constantes en chemin, on obtient que l'integrale vaut
,
ou la constante vaut , ce qui par Stirling converge vers . En faisant un DL du terme dans l'intégrale et en faisant gaffe á l'intervention de limite on obtient au final la limite

[aviateur]

Je pense que cela revient au même puisque tu passes d'une loi à l'autre par un changement de variable.
Mais la différence c'est que je n'ai pas de calcul (si un petit peu car je dois m'assurer que j'ai bien la densité d'une somme de v.a indépendantes de loi exponentielle mais c'est surement bien connus des étudiants qui font de la proba). Mais le théorème central je l'applique et c'est tout. Maintenant avec le changement de variables
il faut tout de même s'assurer du calcul formels. Mais bref pour moi, il n'y a pas de meilleures solutions.

[aviateur]

Rebonjour
Voici un peu détaillé comment je résous le pb.
On pose f(x)=1/2e^{x} et p_n(x)=\sum_{k=1}^n x^k/k! et q(x)=p_n(x)-f(x) (pas d'indice pour simplicité)
Remarquer que q(x)-q'(x)=h(x)=x^n/n! et q(0)=1/2 comme d'ailleurs f(x)-f'(x)=0 et f(0)=1/2.

Pour une constante c>0 , posons
bien sûr on a et
En particulier si c=1 on retrouve q(x).
Remarquer encore que
Choisissons c de sorte que
Supposons que (1) est inférieur à 1/2. Alors c>1
Il vient donc en comparant les solutions g_c et q des équations différentielles (et avec l'aide théorie des EDO) il vient que q s'annule en un point plus grand que n.
Ce qui revient à dire que q(n)>0. Autrement dit cela démontre la seconde inégalité du problème.
Pour la première inégalité, des considérations analogues montrent que cela revient à démontrer
que (2)
Reste à démontrer (1) et (2) .... à suivre dans le post suivant

[aviateur]

Donc j'ai posé
Posons et

Il faut donc démontrer que pour tout n,
Avec des petits calculs on montre que la suite est croissante la suite est décroissante
et puis et tend vers 0.
Autrement dit les 2 suites sont adjacentes et le résultat sera obtenu pourvu que l'on sache montrer que leur limite est 1/2.
Pour cela on remarque (ou on montre) que que c'est la densité d'une variable aléatoire X qui est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1. Alors est la limite vaut bien 1/2 par simple application du th central limite.

[ffback]

Je précise que le calcul que j'ai donné est pour qui ne veut pas utiliser de proba. Ma preuve probabiliste est autre, et ne nécessite pas de calcul:

Je dis que où suit une loi de Poisson de parametre . Alors a même loi que où est une suite indépendante de variables de Poisson de parametre 1, et donc:
par le théorème central limite.

edit: il y a eu des messages croisés, ce n'est pas une réponse aux derniers messages

[aviateur]

D'accord j'ai compris mais l'idée pour cette deuxième partie est la même. Disons que l'on 3 démos pour ce problème équivalent 2 avec la proba et un sans proba.