Convergence uniforme de séries de fonctions

[Syjk]

Bonjour
J'ai eu l'exercice suivant à un oral de maths de l'ens, et je n'arrive pas tout à fait à conclure à la deuxième question...
Exercice :
Soit X une variable aléatoire valeurs dans {x1,x2...} ensemble dénombrable, avec les xk réels.
On pose Phi de R dans C :
Phi (t) = E (exp(itX)) avec E l'espérance
1) Montrer que si X admet un moment d'ordre p, alors Phi est Cp
2) Mq Phi Cp implique X admet un moment d'ordre 2Ent(p/2) avec Ent la fonction partie entière

Ce que j'ai fait:
1) Pas de problème
2) L'examinateur m'a proposé de considérer le cas p=2 et de travailler avec Delta_h(f)=(f(h)+f(-h)-2f(0))/h^2
On applique Delta_h à Phi, et on essaie de passer à la limite à l'intérieur de la somme, ce qui nous fournira immédiatement l'existence du moment d'ordre 2 du fait de l'existence de Phi''(0)
Mon problème: Pour ce faire, il faut convergence uniforme de la série sur un intervalle contenant 0, et je n'arrive pas à l'obtenir...

Toute aide est la bienvenue

[LB2]

Bonjour Syjk,

il est clair que si phi est C2, Delta_h(phi) tend vers Phi''(0) quand h tend vers 0.
Mon idée est d'écrire où est la somme partielle jusqu'à n.

Ensuite, on utilise un développement limité du cosinus en 0 : et on essaye de justifier la convergence du bout contrôlé par du O(h^2) ...

[Syjk]

Bonjour
Merci beaucoup d'avoir répondu.
C'est là que réside mon problème:
j'étais arrivée à cette étape, mais il me semblait que pour justifier la convergence de la somme en h^2, j'avais besoin de l'existence du moment d'ordre 2, ce qui me conduisait à tourner en rond...
De plus, si j'essaie de faire tendre d'abord h vers 0 puis n vers l'infini, je n'ai aucune garantie que limPhi(n)" quand n tend vers l'infini soit égale à Phi"
Pour cela j'ai besoin de la convergence uniforme de la série que vous avez posée, sur un intervalle I centré en 0, et je n'arrive pas à obtenir cette convergence