Covariance espérance et variance

[ObiwanK78]

Bonjour !

Alors j'ai ce problème:
U~U([0;1]) et V=1-U

1. Calculer Cov(U,V)

Je trouve
Cov(U,V)= E(U-U^2) + E(U)^2

Comment simplifier au maximum svp ?

[pascal16]

sauf erreur de ma part :
E(U-U^2) + E(U)^2
= E(U)-E(U^2) + E(U)^2
à droite on reconnait une formule de variance...

[ObiwanK78]

Donc ça fait E(U)+Var(U) ?

[pascal16]

à un signe près

[ObiwanK78]

Ah oui E(U)-Var(U) !
Merci

[LB2]

Bonjour,

E(U)= ?
Normalement, connaissant la fonction de densité de probabilité de U , tu peux calculer par une intégrale E(U^2)= ?
Donc Var(U)= ?
Donc Cov(U,V)=...

[ObiwanK78]

Oui l'espérance c'est égale à l'intégrale de xf(x)
Du coup c'est faux ou pas ?

[ObiwanK78]

Recapitulons, on a U et V=1-U

Donc

Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)
=E(U(1-U))-E(U)E(1-U)
=E(U-U^2)-E(U)E(1-U)
=E(U)-E(U^2) -E(U)(-E(U)+1)
=E(U)-E(U^2) +E(U)^2 -E(U)
=E(U)^2 -E(U^2)
=-Var(U)

[LB2]

Oui l'espérance c'est égale à l'intégrale de xf(x)
Du coup c'est faux ou pas ?

Oui c'est vrai, et que vaut la densité f(x) d'une loi uniforme sur [0,1] ?

[ObiwanK78]

Elle vaut 1 ?

[pascal16]

et l'intégrale de xdx entre 0 et 1 ?


Il ne faut pas confondre avec la valeur moyenne d'une fonction, ici, l'axe du caractère, c'est l'axe x.
Un caractère qui prend uniformément toute valeur entre 0 et 1 vaut en moyenne 0.5.

[bcherrier]

Cov(U,V) = Cov( U,1-U)
On enleve la constante "1"
= Cov(U,-U)
On sort le coefficient -1
= -Cov(U,U)
Et cov(U,U)=Var(U)
= -VAR(U)

voir propriétés dans
https://fr.wikipedia.org/wiki/Covariance

[ObiwanK78]

Merci bcherrier

[LB2]

Elle vaut 1 ?

Pas tout à fait, c'est une fonction définie sur R qui vaut 1 si x est compris entre 0 et 1, et 0 ailleurs.
si , sinon

[LB2]

Le calcul n'est pas fini si tu t'arrêtes à Cov(U,V)=-Var(U).
Peu importe que ça vaille Var(U), ou autre, ce qui nous intéresse c'est la valeur, et ça, ça se calcule.
Grace à la densité, et donc l'intégrale de ... (c'est ce que je t'ai écrit dans mon premier message, il suffit de suivre le fil du raisonnement)

[ObiwanK78]

Bah après c'est (a+b)/12 donc -1/12

[LB2]

Oui, et il vient d'où ce 1/12 ?

[pascal16]

un modification de la formule de la variance qui est (b-a)²/12 ?

[LB2]

un modification de la formule de la variance qui est (b-a)²/12 ?

Oui tout à fait, j'essaie juste d'être pédagogique par rapport au raisonnement d'Obiwank78. Je pense qu'il n'a pas encore compris que connaissant la densité de la variable aléatoire U, on peut calculer E(f(U)) pour n'importe quelle fonction f par une intégrale. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de transfert. Donc on peut calculer facilement E(U), E(U^2), etc.