équation dans (N,N)

[ffback]

Oui je me suis ramené moi aussi à cette équation. Mais je la trouve pas tellement plus simple que l'équation initiale

[Pseuda]

Elle donne des infos sur . Après, peut être ce qu'il veut, il se déduit de .

C'est vrai que cela devient compliqué. Si cela l'est trop, il vaut mieux faire marche arrière.

[Ben314]

Salut,
Je fait un résumé de ce qui a déjà été fait et de où j'en suis :












To be continued...

[aviateur]

Bonsoir
Ok on doit pouvoir continuer:
Si autrement dit pour (j=1,2 ou 3) ,
on voit que le facteurest impair ce qui veut dire que les seules possibilités pour d
sont d=1 , 3, 5, 8 ,15, 24,40 ou 120.
cas 1= Pour d=120 on a
donc 3 divise a mais ce n'est pas possible car a et d=120 sont premiers entre eux.

cas 2 d=40. .....

[infernaleur]

Bonsoir
Ok on doit pouvoir continuer:
Si autrement dit pour (j=1,2 ou 3) ,
on voit que le facteurest impair ce qui veut dire que les seules possibilités pour d
sont d=1 , 3, 5, 8 ,15, 24,40 ou 120.
cas 1= Pour d=120 on a
donc 3 divise a mais ce n'est pas possible car a et d=120 sont premiers entre eux.

cas 2 d=40. .....

pour d=120 c'est pas plutôt

[aviateur]

Oui @infernaleur, c'est exact; je me suis trompé idiotement. J'ai pas tout à fait les même calculs mais bien sûr c'est analogue car je dois discuter aussi selon les diviseur de 120
Pour moi 120 c'était le cas facile à éliminer. Ici maintenant, sauf erreur de ma part, ici 120 serait le cas "intéressant" (celui qui conduit à des solutions).
Donc je vais reprendre dans l'ordre 1,3,5...

[ffback]

Bon, je ne sais pas trop où on va comme ça, mais je poursuis votre raisonnement. J'utilise essentiellement de nouveau que modulo 3 et modulo 4, les seuls carrés sont 0 et 1.

Donc on a , avec

Si alors donc et . Ca élimine .

Si d impair alors donc et . Ca élimine

Si on écrit . Alors donc donc . Ca élimine

Si pair, alors il est multiple de 8 donc on écrit . Alors donc donc . Ca élimine

En mettant tout ça ensemble, les seuls qui ne sont pas encore éliminés sont et

[ffback]

pour :
On a donc . On regarde cette fois modulo 5 (où les carrés sont 0,1 et -1). Ainsi, . Le cas donne directement une contradiction, donc , et donc . Ainsi ce qui donne , ce qui n'est pas possible.

Le cas est donc lui aussi exclu, et il reste effectivement que . On est donc ramené à résoudre l'équation (qui a au moins la solution triviale )

Mais progresse t-on réellement, à jumper ainsi d'équation en équation?

[aviateur]

Rebonjour
Bon j'avance les cas "faciles", il s'agit de ne pas se mélanger les pinceaux!!
Je reprends la suite des calculs donnés par @ben.
On a donc

donc d divise 120=2^3*3*5.
Si d=1
est à éliminer car
si 2|d on voit que nécessairement divise d car le facteur est impair
si d=8 on a

et modula 4 on peut voir que ce n'est pas possible

si d=3 on a

et modulo 3 c'est pas possible.

si d=5 on a

et modula 4 ce n'est pas possible

si d=15

et modulo 3 ce n'est pas possible

si d=24

impossible modulo 3.

si d=40
je vous le laisse idem modulo 40.

Il reste donc le fameux cas d=120. i.e

à résoudre.

[Pseuda]

...

[aviateur]

Bonjour @pseuda, @ffback,....
J'ai avancé le problème hier mais je suis étonné de voir aujourd'hui que @ffback tu as fait la même chose que moi (mais publiée avant) ,..dommage je me suis fatigué pour rien d'autant plus que ces cas sont assez faciles à éliminer.
Tu poses la question si on va aller comme cela de jump en jump. Et bien je te rassure: la réponse est non.

Pour résumer le travail il reste (s'il y a des solutions) comme seule possibilités d=120, c'est à dire que l'on a ce nouveau problème à résoudre.

Je ne sais pas si je dois laisser chercher pour celui qui est intéressé.
Bon je donne une indication se ramener à une équation de la forme

@pseuda, je ne sais pas où tu en est mais @ben a fait une synthèse et puis nous avons continué dans cette voie.
De ma part, je préfère rester avec ses notations de façons à avoir une certaine continuité.

[ffback]

Aviateur: Désolé
(au passage tu as fais une erreur sur le cas d=3)

Pseuda prend le même chemin de Ben, son équation est essentiellement la même avec beta=2b

Bon alors, suivant l'indic, on a avec ,


Une bribe d'idée de continuation: on peut écrire (39? tiens le revoilà lui...). Les deux termes à gauche sont premiers entre eux donc on a , avec AB=39 (=3x13), et ça donne

J'imagine que maintenant on peut essayer d'éliminer des cas pour A et B et arriver ainsi à une nouvelle équation....

J'ai une semaine un peu surchargée, mais je vais essayer de continuer d'y réfléchir.

Edit: bon je passe les détails cette fois, mais en supposant A,B>0 (quitte à inverser u et v), je trouve avec les techniques de modulo habituelles que la seule équation valide est

[Pseuda]

Bonsoir,

J'ai modifié mon message précédent en voulant juste le copier. Le revoici :

J'étais partie de (translaté de x-2) est divisible par et son quotient est un carré pair, et donc . De plus, le quotient de par est un carré impair premier avec , et s'écrit .

En injectant, on obtient : , soit . Comme b ou b+1 est pair, on obtient : avec .

[pascal16]

ctrl+z pour annuler
mais c'est trop tard

[ffback]

Derniere remarque avant d'aller au pieu: (u,v)=(5,2) est solution de

[aviateur]

Bonsoir

Aviateur: Désolé
(au passage tu as fais une erreur sur le cas d=3)

Oui évidemment c'est modulo 4 qui montre que ce n'est pas possible.

Bon alors, suivant l'indic, on a avec ,

Ok il faut savoir résoudre cela pour arriver à la conclusion.

Une bribe d'idée de continuation: on peut écrire
(39? tiens le revoilà lui...). Les deux termes à gauche sont premiers entre eux donc on a , avec AB=39 (=3x13), et ça donne

Je suis d'accord avec cela et avec ton équation finale
(j'ai dû utiliser un cas modulo 13, c'est pas très marrant mais avec une machine ça va vite)
Pour moi c'est différent mais on peut essayer de résoudre cette équation, normalement on doit aboutir même si la voie est différente.
remarque c'est où alors

[aviateur]

Bonjour
Bien sûr admet la solution "triviale" (1,0) (je pense que si on remonte tous les calculs on doit aboutir à la solution "triviale" du problème initial )
Puis c'est assez logique de chercher une solution pas trop grande s'il en existe une. Il
s'avère que v=2 donne u=5 !!!! On ne pouvait pas mieux.
Donc en remontant les calculs on devrait obtenir la solution du problème initial.
Reste à montrer qu'il n'y en pas d'autres. Ce qui revient à dire que ce
problème n'a pas d'autres solutions que celles trouvés ici.

[ffback]

De nouveau, tu m'en vois désolé mais j'ai donné la solution (5,2) avant toi :p

[aviateur]

@ffback, C'est pas possible ou je suis aveugle ou quoi? Bref de toute façon c'est évidemment trouvable.
Je viens de remonter tous les calculs c'est assez facile. Je ne mets pas les détails et finalement on trouve comme solution du problème initial
x=28844402 et y=154914585540.
On comprend un peu mieux la difficulté de voir avec un simple programme
cette solution.

[ffback]

J'ai regardé la remontée des calculs et effectivement, il semble que par chance ce qui doit etre un carré l'est et ca remonte tout en haut. Je posterai ce soir si ce n'est pas fait avant.