Système d'équations sans solutions...

[VDK1996]

Bonjour à tous,

J'ai un problème qui sort du cadre très théoriques de ce que j'ai eu l'occasion d'apprendre en cours...
Il s'agit d'une réflexion personnelle dans mon apprentissage de matlab

Une série de personnes vont au marché, elles achètent chaque fois différentes choses, en quantités variables, dont le prix total l'est donc également. Je prends des variables x1 = pommes, x2 = poires, x3 = tarte, ...
Je souhaiterais connaître le prix d'une pomme, connaissant le prix total du panier de chacun.

le système est donc le suivant :
(le premier bonhomme a acheté 2 pommes, 2 poires et 2 tartes pour un total de 22€


Seulement voilà, le système aurait une solution si le vecteur prix était (22, 17, 42) mais ce n'est pas le cas... Y-a-t'il toutefois un moyen de déterminer un intervalle de valeurs possibles ?

- Si je fais une analogie dans l'espace, il s'agirait de droites qui ne se croisent pas je pense, mais alors peut-être peut-on imaginer d'englober les points les plus proches (intervalle de valeur = sphère qui les englobe ?)
- Est-il possible d'ajouter par exemple une variable E (pour erreur) qui puisse matérialiser le fait qu'il n'y a pas de solutions et compenser les erreurs... ? (moyennant l'ajout de nouvelles équations puisqu'on rajoute une variable)
- Sinon quelle solution peut être envisagée ?

Je vous remercie d'avance pour vos réponses,

VDK1996

[hdci]

Bonjour,

L'écriture matricielle est inversée : si est la matrice des coefficients, le vecteur des inconnues et le vecteur résultat l'équation est

Dans ce cas précis, il s'agit d'un système de trois équations à trois inconnues. Il n'y a alors que trois possibilités (dans un système de n équations à n inconnues, il n'y a jamais que trois possibilités) :

• le déterminant de la matrice est non nul et il y a une unique solution
• le déterminant de la matrice est nul et il n'y a pas de solution
• le déterminant de la matrice est nul et il y a une infinité de solutions

Ici le déterminant est non nul, on est dans le premier cas (il y a une unique solution).
Il existe une façon systématique de résoudre cela, mais c'est un peu lourd ; pour la résolution naturelle, commence par isoler l'une des inconnues en fonction des deux autres avec l'une des équations (par exemple en utilisant la seconde équation) et en remplaçant l'inconnue dans les deux autres, tu te ramènes à un système de deux équations à deux inconnues.

PS. d'où sors-tu le vecteur ? Il n'a a priori rien à voir avec le sujet ?

PPS. L'analogie dans l'espace ici n'est pas avec des droites, mais avec des plans : l'équation est l'équation d'un plan. Du coup, les trois équations reviennent à trouver l'intersection des trois plans :

• si deux plans dans l'espace (en dimension 3) ne sont pas parallèles, l'intersection est une droite
• si une droite n'est pas parallèle à un plan, l'intersection est un point

[VDK1996]

Bonjour,

Tout d'abord merci pour votre réponse.

L'exemple que je prends ici est fictif et ne correspond pas à un énoncé réel. Ici je trouve bien une solution.
Le vecteur (22, 17, 42) c'est comme si tout le monde avait payé 2€/pomme, 3€/poire et 6€/tarte. En réalité en fonction du commerçant cela peut varier. Et donc j'ai changé un peu les prix du vecteur prix en espérant ne pas avoir de solution.

En fait finalement ce que je souhaiterais ce serait prendre par exemple 100 paniers, où chacun à acheté des choses différentes à des prix différents et pouvoir déterminer le prix de chaque article. Sauf que très vraisemblablement si je mets 100 paniers (=100 plans d'orientations différentes) j'ai peu de chance d'obtenir une solution unique... Dès lors est-ce qu'il est possible d'obtenir des intervalles de valeurs qui satisfont les équations (plutôt qu'une solution unique).

Donc quelque chose du style : x1 = [1...3€], x2 = [3...5€], x3 = [5...7€] Pour avoir une fourchette de prix que les gens ont payé pour chaque article.
Une fois encore merci pour votre future réponse.

VDK1996

[pascal16]

Ici, (3 ; 2.5 ; 5.5) est solution (à la calculette).

Pour tes recherches, il y a la notion d'optimisation sous contraintes qui permet de chercher la meilleur solution avec des bornes sur les variables

[VDK1996]

Ok je vais chercher sous ces mots clés ! Merci pour votre aide.

[fatal_error]

hello,

comme dit pascal16, tu peux reformuler ton pb et tenter de minimiser une erreur.
par ex, l'erreur de prix entre la valeur réelle de la pomme et celle que tu "prédis"

En repartant de MX=R de hdci, au lieu de chercher une solution exacte pour X (tant mieux si elle existe...)
tu peux tenter de chercher X tq
d(MX, R) soit minimale, (d est une distance modélisant l'erreur entre ta prédiction sur le prix des articles (X) et la valeur réelle R)
par ex, tenter de trouver X tq (MX-R)^2 soit minimale (sous contrainte X > 0 pour toutes ses composantes )
de mémoire sqp est disponible pour octave
bon, fonction carrée pour d c'est un exemple, tu peux en poser d'autres...

maintenant en planant un peu (je sais pas trop ou ca mène)
je tenterais bien
de trouver le nombre de commercants différents avec leur prix.
au lieu de supposer un prix moyen pr une pomme, je suppose que ya deux prix possibles (dependant de là ou je l'achète)
j'ai
M1X_1+M2X_2=R
s.c M1+M2=M
(ici ca suppose que les articles sont dérivés en deux prix différents)
bien sur X_1 les prix "type" 1, X_2 les prix "type" 2
on peux tenter de réduire les abbérations avec genre 0.5X<X_1,X_2<2X (genre des commercant vendent moitié prix, ou double)
ya clmnt un risque d'overfitting, mais bon, ca vaut le cuop (je pense) d'y penser

[VDK1996]

Bonjour,
Merci pour votre réponse !

C'est exactement ça. Le problème me semble ambitieux pour mon niveau (tant en matrices qu'en matlab) mais je vais faire des recherches sous ces mots-clés.

Bonne journée et merci.

VDK 1996

[pascal16]

la résolution simple par matrice est vue en bac S, et même en ES spé math.
L'optimisation sous contrainte est en post bac, mais très utile en gestion de stock, optimum de production toute filière.

[LB2]

Bonjour,
Merci pour votre réponse !

C'est exactement ça. Le problème me semble ambitieux pour mon niveau (tant en matrices qu'en matlab) mais je vais faire des recherches sous ces mots-clés.

Bonne journée et merci.

VDK 1996

Bonjour VDK 1996,

si le sujet t'intéresse, une bonne référence niveau Licence est celle-ci https://www.ljll.math.upmc.fr/algebreli ... tion1.html qui se trouve dans toutes les bonnes bibliothèques