Salut,
Soit
(qu'on suppose
)
1) On commence par se ramener au cas d'un recouvrement d'ouverts :
.
2) On considère la relation suivante : Deux éléments
sont dit "
joignables" s'il existe une suite finie d'entier
tels que
.
2.1) Dans ce cas, on a
où la deuxième inégalité est valable à coup sûr lorsque les
sont distincts, mais, quitte à raccourcir la suite, on peut toujours se ramener à ce cas là.
2.2) La relation en question est clairement une relation d'équivalence (la réflexivité provenant du fait que les
recouvrent
) et, comme les
sont ouverts, les classes d'équivalence pour cette relation sont ouvertes donc elles sont aussi fermées vu qu'une classe c'est le complémentaire de la réunion de toutes les autres. Comme
est connexe, il y a donc une seule classe ce qui signifie que deux éléments quelconques
sont toujours
joignables donc tels que
.
Ceci étant vrai pour tout
, c'est que
et donc
.