TCL

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leila1899
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TCL

par leila1899 » 20 Juin 2018, 11:03

Bonjour à tous !
J'aurais besoin d'aide pour comprendre comment appliquer le TCL...
Voici l'exercice:
On sème n=100 graines dont chacune a une probabilité de germer de p=1/10.
En utilisant le TCL, estimer la probabilité pour que X soit compris entre 4 et 16.

Voici ce que j'ai fait pour l'instant:
On a P(4<X<16) et B(100;1/10) ==> N(10;3)
Voila... merci d'avance de votre aide :)



aviateur
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Re: TCL

par aviateur » 20 Juin 2018, 11:24

Bonjour TCL = theorem central limit ??
Sinon on devine que tu approximes la loi binomiale par la loi normale N(10,3)
J'ai 2 remarques
1. d'abord X est une v.a discrète donc compris entre 4 et 16, il faut que cela soit plus clair c'est pas pareil que (4<X<16). )
Je calcule donc une valeur approchée de sinon il faudra adapter.

2. On remplace ici X par une variable (que je note Y) qui suit la loi N(10,3).

Il serait plus judicieux de dire que


Pour calculer cette dernier proba on utilise que

suit la loi N(0,1) et on finit le calcul numériquement avec une table ou une calculatrice.

leila1899
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Re: TCL

par leila1899 » 20 Juin 2018, 11:29

Oui c'est ça !
Je le sais, mais je n'ai pas réussi à faire apparaître les égalités mdr...
L'usage de la calculatrice est interdit, il n'y aurait pas un autre moyen ? :)
Merci de votre réponse !!

aviateur
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Re: TCL

par aviateur » 20 Juin 2018, 11:34

Le dernier calcul est une intégrale que l'on ne sait pas calculer exactement. Donc on fait le calcul approché de l'intégrale avec des méthodes comme la méthode Simpson, Romberg où je ne sais quoi. En général on fait cela avec une calculatrice. Mais il fut une époque où il y avait des tables de la loi Normale N(0,1). Donc si on ne peut pas utiliser la calculatrice il faut utiliser une table. Je ne vois pas d'autre moyen. Maintenant si tu es chez toi qui va voir que tu as utilisé une calculatrice?

leila1899
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Re: TCL

par leila1899 » 20 Juin 2018, 11:42

En fait je fait des exercices pour me préparer à un examen... Et je n'ai pas le droit à la calculatrice durant l'épreuve. Mais j'ai réussie à avoir les réponses d'une amie, le hic étant que je ne comprends pas comment elle a fait ^^'
Voici ce qu'elle a fait :
P(-2v + E < X < E + 2v)= 95,44%
avec v = var[X] et E = E[X]

aviateur
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Re: TCL

par aviateur » 20 Juin 2018, 12:00

Bon, c'est pas mon truc à chercher des formules toutes faites et puis cela m'étonnerait que v soit la variance
mais plutôt l'écart type.
Alors tu as effectivement P(E-2 \sigma < Y < E + 2 \sigma) =P(-2< Y0 < E + 2 ) \approx 0.9544
qui doit être quelque chose appris pour une raison que je ne connais pas (peut être que cela s'apprend au lycée ...)
Mais attention je trouve 0.9697 alors que la calcul explicite donne 0.9715.

Et si je fais l'exercice avec les inégalités strictes je trouve 0.9332 et la valeur exacte est 0.9363.
Dans les 2 cas ton amie fait une erreur de presque 2% ce qui est beaucoup.
Ici tu remarques que l'erreur 0.15% ds le premier cas et 0.3% dans le deuxième.
Je considère que ton amie en faisant cela fait une erreur.

leila1899
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Re: TCL

par leila1899 » 20 Juin 2018, 12:11

D'accord, je vois, merci beaucoup !
Je vais le lui dire ahah

LB2
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Re: TCL

par LB2 » 20 Juin 2018, 17:17

Bonjour,

en général, pour calculer une probabilité du type quand X suit une loi normale, il faut en effet se ramener à une loi normale centrée réduite et consulter la table donnant les valeurs de sa fonction de répartition.

Cependant, ici, on remarque que l'intervalle correspond exactement (et j'imagine que c'est voulu par le concepteur du sujet) à l'intervalle .

On reconnait l'intervalle à 95% d'une loi normale, d'où la probabilité environ égale à 0.95.

En réalité, ce n'est pas tout à fait cela, car il faut prendre en compte la qualité de la convergence de la loi binomiale vers la loi normale. Il existe une formule plus compliquée donnant l'intervalle de confiance correspondant, qui en pratique correspond à .

De plus, comme l'a dit Aviateur, sans tables donnant les valeurs des quantiles de la loi normale centrée réduite, et sans calculatrice, il me parait impossible de faire les calculs dans le cas général...

 

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