Bonjour
Svp j'aimerais savoir s'il y'a des propriétés pour connaître le nombre d'équations qu'il faut résoudre pour trouver le terme général d'une suite récurrente affine du second ordre
Par exemple la suite U(n+1) - 2Un + U(n-1) = n+2
Merci d'avance
Les suites numériques
10 messages
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Re: Les suites numériques
par aviateur » 20 Juin 2018, 11:20
Bonjour
Pour moi ta question est mal posée ou mal venue.
Je pense qu'il faut que tu te poses la question comment fait-on pour trouver le terme général
en fonction de n,
et 
(car la suite est complètement déterminée par ses deux premières valeurs)
Pour moi ta question est mal posée ou mal venue.
Je pense qu'il faut que tu te poses la question comment fait-on pour trouver le terme général
en fonction de n,
Re: Les suites numériques
par pascal16 » 20 Juin 2018, 14:56
Celle-ci est un peu particulière, en posant Vn=Un+1-Un, on retombe sur de l'ordre 1.
tu parles peut-être de la recherche de la solution de l'équation homogène et ensuite de la recherche d'une solution particulière
tu parles peut-être de la recherche de la solution de l'équation homogène et ensuite de la recherche d'une solution particulière
Re: Les suites numériques
par aviateur » 20 Juin 2018, 17:33
Bien entendu le nombre d'équations peut dépendre de comment tu abordes le problème.
Par exemple tu peux utiliser la suite auxiliaire proposée par @pascal donc tu résous en 2 étapes. Mais comment dire combien il faut d'équations si on écrit pas les choses?
Tu peux aussi voir (ou démontrer) que la solution générale est de la forme 
Donc cela te fait 2 équations + 2 pour satisfaire les conditions initiales
De toute façon ce n'est pas un problème que l'on met en équation. C'est un problème que l'on résout avec une certain raisonnement en utilisant des connaissances ou pas. Et éventuellement il y a des paramètres à trouver qui vont satisfaire peut être des équations (un peu comme dans la méthode que je propose ) .
Ainsi aborder un problème en se posant la question du nombre d'équations que l'on va résoudre c'est un peu inutile et imprévisible.
Dans un match de basket le meneur est peut être excellent, faire gagner son équipe et pourtant il n'aura pas mis beaucoup de point. On ne mesure pas la qualité d'un meneur au nombre de points qu'il met par match, (bien que T. Parker soit une exception dans ce domaine).
On ne mesure pas une démonstration pour résoudre un problème en fonction du nombre d'équations que cela va demander, de plus il y a "équation" et "équation".
Par exemple tu peux utiliser la suite auxiliaire proposée par @pascal donc tu résous en 2 étapes. Mais comment dire combien il faut d'équations si on écrit pas les choses?
Tu peux aussi voir (ou démontrer) que la solution générale
Donc cela te fait 2 équations + 2 pour satisfaire les conditions initiales
De toute façon ce n'est pas un problème que l'on met en équation. C'est un problème que l'on résout avec une certain raisonnement en utilisant des connaissances ou pas. Et éventuellement il y a des paramètres à trouver qui vont satisfaire peut être des équations (un peu comme dans la méthode que je propose ) .
Ainsi aborder un problème en se posant la question du nombre d'équations que l'on va résoudre c'est un peu inutile et imprévisible.
Dans un match de basket le meneur est peut être excellent, faire gagner son équipe et pourtant il n'aura pas mis beaucoup de point. On ne mesure pas la qualité d'un meneur au nombre de points qu'il met par match, (bien que T. Parker soit une exception dans ce domaine).
On ne mesure pas une démonstration pour résoudre un problème en fonction du nombre d'équations que cela va demander, de plus il y a "équation" et "équation".
Re: Les suites numériques
par mathelot » 20 Juin 2018, 22:08
bonsoir,
soit l'équation
soit
(avec 
) une suite géométrique vérifiant:
en multipliant par r:
en divisant par r^n
d'où r=1 est une racine double
et la base de l'espace vectoriel des suites vérifiant
est constituée des deux suites
et de 
donc
 \qquad u_n=cn+d)
pour trouver une solution particulière de l'équation:
(1)
il faut chercher sous la forme 
on injecte dans l'équation (1):
soit
(2)
en faisant n=0 puis n=1
et 
n +n^2+\frac{n}{6}(n^2-7))
est solution particulière de
)
est solution particulière de
n)
est la solution générale de l'équation homogène.
soit l'équation
soit
en multipliant par r:
en divisant par r^n
d'où r=1 est une racine double
et la base de l'espace vectoriel des suites vérifiant
est constituée des deux suites
donc
pour trouver une solution particulière de l'équation:
il faut chercher
on injecte dans l'équation (1):
soit
en faisant n=0 puis n=1
Modifié en dernier par mathelot le 23 Juin 2018, 15:17, modifié 4 fois.
Re: Les suites numériques
par mathelot » 21 Juin 2018, 00:02
Georges10 a écrit:Bonjour
Svp j'aimerais savoir s'il y'a des propriétés pour connaître le nombre d'équations qu'il faut résoudre pour trouver le terme général d'une suite récurrente affine du second ordre
Par exemple la suite U(n+1) - 2Un + U(n-1) = n+2
Merci d'avance
il faut résoudre l'équation associée d'inconnue r:
Il faut trouver une suite particulière vérifiant
et une autre suite particulière vérifiant:
Re: Les suites numériques
par mathelot » 22 Juin 2018, 21:16
autre approche:
pré-requis:
}{2})
et
(2n+1)}{6})
preuve:
on s'intéresse aux suites vérifiant la relation de récurrence:
pour 
(1)
on pose pour
la relation de récurrence (1) devient:
-(u_n- u_{n-1})=n+2)
pour 
+(v_2-v_1)+\cdots + (v_n-v_{n-1}))
pour n 
+(2+2)+..+(n+2))
+\frac{n(n+1)}{2}+2n)
+\frac{1}{2}n^2+\frac{5}{2}n)
(2)
l'égalité (2) est encore vraie pour n=0.
pour
+(u_2-u_1)+\cdots + (u_n-u_{n-1}))
pour n
pour n
+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2} \, k^2+ \frac{5}{2} \sum_{k=1}^{n-1} \, k)
+\frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \right)+\frac{5}{2} \frac{(n-1)n}{2})
après réduction
 + n^2 + \frac{n}{6} (n^2-7))
pour
pré-requis:
et
preuve:
on s'intéresse aux suites vérifiant la relation de récurrence:
on pose pour
la relation de récurrence (1) devient:
l'égalité (2) est encore vraie pour n=0.
après réduction
Re: Les suites numériques
par aviateur » 23 Juin 2018, 11:48
Bonjour
Il est facile de voir que l'application^{p}-x^p-(x-1)^p)
est (pour 
) polynomiale de degré exactement p-2. ( en effet (x+1)^p=x^p +p x^{p-1}+.... et idem pour (x-1)^p...)
Comme le second membre de l'équation est un polynôme de degré 1, il est naturel de chercher les solutions
u(n)=p(n) où p(n) est de degré 3.
Donc c'est pour cela que l'on peut poser=p(n) =a *n ^3 +b*n^2+c*n+d.)
A partir de là, avec des petites équations évidentes, on trouve une solution unique de cette forme complètement déterminer par la donnée de u(0) et u(1).
C'est à dire que cela répond directement au problème mais aussi un peu à la question posée (bien qu'elle ne soit pas claire à mon avis "en terme de nombre d'équations à poser") et aussi cela montre qu'il faut savoir parfois sortir des sentiers battus.
Il est facile de voir que l'application
Comme le second membre de l'équation est un polynôme de degré 1, il est naturel de chercher les solutions
u(n)=p(n) où p(n) est de degré 3.
Donc c'est pour cela que l'on peut poser
A partir de là, avec des petites équations évidentes, on trouve une solution unique de cette forme complètement déterminer par la donnée de u(0) et u(1).
C'est à dire que cela répond directement au problème mais aussi un peu à la question posée (bien qu'elle ne soit pas claire à mon avis "en terme de nombre d'équations à poser") et aussi cela montre qu'il faut savoir parfois sortir des sentiers battus.
Re: Les suites numériques
par mathelot » 23 Juin 2018, 12:08
aviateur a écrit: l'application
il n'y a pas une erreur ?
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