Bonjour
Pour le 1) c'est assez facile de voir que la limite est 1.
En effet pour la partie de
à 1 tu peux majorer facilement pour voir que ça tend vers 0.
donc tu peux remplacer dans la question la borne 1 par
Maintenant tu peux approcher cos(x)-sin(x) par sa tangente en 0, i.e 1-x.
L'expression
tend vers 1 et c'est une majoration car cos(x)-sin(x) est concave.
Pour la minoration tu peux bidouiller un peu en utilisant
où c est n'importe quel nombre entre a et b.
Ici a=1-x et b=cos(x) -sin (x).
Cela donnera
"quelque chose de positif que tu peux majorer facilement"
En passant à l'intégrale et en multipliant par n ce terme va tendre vers 0.
pour le 2)la limite est 3. On peut déjà translater pour avoir une intégrale de -1 à 1 d'une fonction paire.
On est donc amener )à calculer la limite de
Mais cette fonction cv simplement vers la fonction (1+u) dont l'intégrale vaut 3/2. La conclusion s'obtient immédiatement avec la convergence dominée.