Bonjour LeevyFX,
6. L'aire des rectangles entre les abscisses 1 et 4 vaut : 1*1^3 (rectangle entre 1 et 2) + 1*2^3 (rectangle entre 2 et 3) +1*3^3 (rectangle entre 3 et 4). soit 1+8+27=36 u.a.
Alors évidemment, les rectangles sont sous la courbe, donc l'aire obtenue est inférieure à l'aire exacte donnée par l'intégrale. On perd surtout beaucoup d'aire entre les abscisses 3 et 4.
Ton idée de considérer les points milieux 1,5 - 2,5 - 3,5 est bonne mais s'appelle méthode du point milieu (elle approche plus précisemment l'intégrale, comme le ferait la méthode des trapèzes par exemple).
7. Tu as une bonne idée encore, mais tu ne respectes pas l'énoncé (qui n'est pas très précis, je te le concède). Tes pétales sont formés par la différence entre x^3 et quelque chose qui ressemble à x^1/3 (racine cubique de x). Ils sont très jolis! Mais l'énoncé considérait des pétales différents, comme le montre le dessin en rouge.
Il s'agit donc de calculer l'intégrale de la différence x-x^3, entre 0 et 1 (comme ça, on pourra le reproduire 4 fois dans les 4 cadrans du parterre). Elle vaut, par primitivation, 1/2-1/4=1/4 u.a=0,25 m^2.
Donc une aire totale des pétales = 4*1/4=1m^2.
Volume = Surface * Profondeur =1*0.4=0.4 m^3 = 400 Litres
8. Je n'ai pas très bien compris quel était le croquis donné par l'énoncé, celui de gauche ou celui de droite?
Si c'est celui de gauche, pour le profil de la coupe, il s'agit donc de la fonction y=4/3*x+4 entre x=-3 et x=0; puis y=(x-2)^2 entre x=0 et x=2.
On calcule donc l'intégrale en deux parties :
car la formule d'un solide de révolution s'obtient en intégrant pi * rayon de révolution au carré (et pas juste pi * rayon) entre les deux abscisses. On obtient donc
unités de volume.