Continuité sans lever le crayon

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Pseuda
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Re: Continuité sans lever le crayon

par Pseuda » 18 Juin 2018, 09:28

Lostounet a écrit:Salut,
Je ne sais pas si cela a été évoqué, mais si une fonction f de R dans R par exemple est dérivable, alors le théorème de Baire permet de démontrer que l'ensemble des points de continuité de f' est dense dans R.

Je ne sais pas si cela apporte un élément de réponse à ta question?

Si en plus on ajoute que f est monotone...
Je me souviens d'un autre résultat qui indiquait que l'ensemble des points de discontinuité de f devenait alors au plus dénombrable.

Merci Lostounet. Cela répond tout à fait à ma question. L'ensemble des points de discontinuité au plus dénombrable : donc non forcément vide. Cela voudrait dire que la réponse est non. Un exemple ? (pas trouvé d'exemple sur internet).

(tout cela en considérant que la définition plus haut de "fonction continue sans lever le crayon", en ajoutant la monotonie à la continuité (car les fonctions tordues n'ont pas cette propriété) tient la route.)



Pseuda
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Re: Continuité sans lever le crayon

par Pseuda » 18 Juin 2018, 19:23

Lostounet a écrit:Si en plus on ajoute que f est monotone...
Je me souviens d'un autre résultat qui indiquait que l'ensemble des points de discontinuité de f devenait alors au plus dénombrable.

Bonsoir,

Si f est monotone, l'ensemble des points de discontinuité de f est au plus dénombrable :

https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Yca ... ode22.html

Mais là, on parle de monotone et dérivable, et des points de discontinuité de Retour à la case départ.

Par contre, j'ai essayé de prendre une fonction continue par morceaux, et de l'intégrer, par exemple la fonction partie entière E(x), espérant construire un exemple de fonction dérivable, monotone, à dérivée non continue. Le problème, c'est que la fonction obtenue n'est pas dérivable aux points entiers : la dérivée de F en x entier est la fonction elle-même : à droite c'est E(x), et à gauche c'est E(x)-1 .

Pseuda
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Re: Continuité sans lever le crayon

par Pseuda » 19 Juin 2018, 16:27

Bonjour,

En fait, les cas de discontinuité des fonctions sont répertoriés :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Classific ... uit%C3%A9s

D'après le théorème de la limite de la dérivée, une fonction dérivée ne peut être discontinue en un point que dans le 3ème cas, i.e. quand n'a pas de limite à gauche et/ou à droite du point (elle ne peut pas être discontinue par saut, par limite différente de la valeur prise, ou par qui tendrait vers +/- l'infini, car dans tous ces cas, ne serait pas dérivable en ).

Il s'agit de trouver une fonction monotone au voisinage d'un point, par exemple telle que f'>=0, et f' discontinue. Par exemple, f'(x)=2x sin (1/x) - cos (1/x^2) + 2. On a : f'(x)>= 0 dans un voisinage de 0.
Donc la fonction pour et est continue sans lever le crayon (au sens de continue + monotone dans un voisinage de chacun de ses points), dérivable en 0 (f'(0)=2), et de dérivée non continue en 0.

On sait la "tracer" en 0 car dans un voisinage de 0 (tandis que l'autre n'était que ).

Donc la continuité "sans lever le crayon" n'apporte rien à la continuité mathématique pour qu'une fonction dérivable soit de dérivée continue (ou bien il faut changer la définition, bon bref, je vais m'arrêter là).

Et plus j'y réfléchis, plus je me dis que la "continuité sans lever le crayon" ne veut effectivement rien dire : on ne sait tracer que quelques points d'une courbe, et ce qu'on appelle "continuité" n'est qu'une approximation entre 2 points par un trait (d'une certaine épaisseur) qu'on appelle "continu" parce qu'on ne veut pas s'embêter à savoir ce qu'il y a entre les 2 points. La courbe monotone dans un voisinage de 0 apporte seulement qu'on sait partir dans une direction depuis le point (0,0).

Merci, ce forum m'a permis d'y voir clair dans cette question qui me turlupinait depuis un moment.

 

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