Probabilités : n événements réalisés

[Kikito]

Yo !
Moi c’est Clément je suis en 5e année de médecine et ça fait depuis 2012 que le bac et les maths c’est fini et que j’ai toouut oublié haha
Sauf que là je suis confronté à un petit problème de statistiques, et j’aurais bien besoin d’aide.

En gros : je fais des annales en ligne sur les chapitres que j’ai révisé, et j’ai la possibilité pour chaque question de voir quel pourcentage de personnes ont répondu juste.
Les chapitres ont un nombre très variable de questions, et j’aimerais savoir comment calculer la proportion de gens qui ont eu 1 question juste, 2 questions justes... ou toutes les questions justes.

Genre imaginons un chapitre à 5 questions A, B, C, D, E.
Chaque événement A, B, C, D ou E a une probabilité différente de se réaliser.
Quelle est la probabilité que les 5 événements se réalisent ; la proba que 4 événements sur 5 se réalisent ; 3 événements sur 5... ou 0 événement sur les 5 ?

En extrapolant avec N événements ayant chacun une probabilité différente de se réaliser, comment calculer facilement :
• p(N événements réalisés)
• p(N-1 événements réalisés)
• p(N-2 événements réalisés)
...
• p(0 événement réalisé)


Je sais pas si c’est très clair ce que je dis haha

J'espère que vous pourrez m’aider

[Nerra]

Hello Clément, enchanté,

Une réponse un peu tardive mais je me lance. Au risque de paraître un peu grossier , il est vrai qu'il faut relire une deuxième fois pour tenter de saisir ton souhait.

Je vais tenter de rephraser ce qui te tracasse.

Tu as un chapitre avec questions numérotées de 1 à N. Tu as à ta disposition la proportion de gens ayant répondu correctement à la question i. Tu souhaites connaître la proportion de gens ayant répondu correctement à 0 question, 1 question, 2 questions, ... N questions.

Essayons un exemple pour visualiser la chose plus contrètement. Disons que le chapitre ait 5 questions numérotées de 1 à 5.
36% des étudiants ont bien répondu à la question 1
10% des étudiants ont bien répondu à la question 2
85% des étudiants ont bien répondu à la question 3
0% des étudiants ont bien répondu à la question 4
50% des étudiants ont bien répondu à la question 5

Tu souhaites connaître la proportion d'étudiants ayant bien répondu à
0 question sur les 5
1 question sur les 5
2 questions sur les 5
3 questions sur les 5
4 questions sur les 5
5 questions sur les 5

Pour 5 questions sur 5 car aucun étudiant n'a répondu à cette question donc aucun étudiant n'a répondu à toutes les questions correctement.

Pour 4 questions sur 5, sachant que seuls 10% des étudiants ont bien répondu à la question 2 et aucun à la question 4, tu auras 10% des étudiants qui ont bien répondu à 4 questions sur 5. Donc, piochant un étudiant au hasard, tu as 10% de chance qu'il ait bien répondu aux quatre questions.

Pour 3 questions sur 5, tu as 4 combinaisons possibles : Q1-2-3, Q1-2-5, Q1-3-5 et Q2-3-5.
- Q1-2-3 : On ne sait rien dire avec les informations à notre disposition car on ignore le détail des réponses de chaque étudiant. Il faudrait savoir à quelles questions chaque étudiant a bien répondu afin d'utiliser le principe d'inclusion-exclusion.
Il en est de même pour les autres cas.

Si quelqu'un est plus éclairé que moi...

- Nerra

[kyrie243]

De ce que je comprend tu as des événement Ei indépendant ayant chacun des probabilités pi (i de 1 à n). Vu qu'ils sont indépendant quelque soit Ei et Ej tel que i différent de j, P(Ei et EJ) = P(Ei)P(Ej).
Maintenant le fait de compter le nombre d'événement réalisé, c'est une question de somme.
Puisque les probabilités ne sont pas les mêmes. Tu as donc la variable aléatoire X étant le nombre d’événement réalisé qui donne
P(X = k) = Une somme ( on fait le produit de k événement réalisé et n-k non réalisé )
et le truc c'est qu'il y a plusieurs possibilités du genre l'événement 1,2,3,4 et pas le 5, l'événement 1,2,3,5 et pas le 4 etc... Du coup je n'arrive pas à écrire cette somme.
Si n est le nombre d'élément, k le nombre d'événement voulu:
Edit: (On devrait avoir un truc du genre:

Ce n'est pas forcément bon mais je pense que ça sent rapproche, ça peut sûrement t'aider en attendant d'avoir une meilleur réponse).

[LB2]

Bonjour Clément,

La question que tu poses est en fait relativement difficile. En effet, comme l'a formulé Nerra, ton problème se pose en ces termes :
On dispose de r questions numérotées de q_1 à q_r, et on connait la proportion pi de gens (de population totale N) ayant répondu correctement à la question i.

On souhaite connaître la proportion de gens ayant répondu correctement à exactement 0 question, que j'appelle t_0, 1 question (t_1), 2 questions (t_2), ... r questions (t_r).
On a t_0+t_1+t_2+....+t_r=1, bien sûr. Mais comment se répartit cette distribution?

Il est facile de voir qu'on ne peut pas déterminer exactement ces proportions, il y a trop d'inconnues. En gros, cela nécessiterait, pour chacun des N individus, et pour chaque question de savoir s'il a répondu correctement à q_1, .... q_r , donc r*N données. Or, on ne dispose que des moyennes sur la population, soit r données.

En revanche, on peut, si l'on fait des hypothèses raisonnables, estimer ces nombres t_i.
Tout se passe comme si l'on cherchait, pour un individu "moyen", la probabilité qu'il ait exactement 0, 1, 2, ...., r bonnes réponses, avec à chaque question q_i la probabilité de succès p_i.

Si l'on considère ces questions comme des épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre de succès p_i, il s'agit de déterminer la loi de la variable aléatoire X, somme de ces r Bernoulli indépendantes, mais pas de même loi. La formule exacte s'appelle "Loi Poisson-binomiale". C'est difficile à calculer. On peut donc en première approche la remplacer par une loi binomiale, de paramètres r (nombre de questions) et .

En reprenant l'exemple

36% des étudiants ont bien répondu à la question 1 p_1=0,36
10% des étudiants ont bien répondu à la question 2 p_2=0,1
85% des étudiants ont bien répondu à la question 3 p_3=0,85
0% des étudiants ont bien répondu à la question 4 p_4=0
50% des étudiants ont bien répondu à la question 5 p_5=0,5

On calcule (p_1+p_2+p_3+p_4+p_5)/5=(0,36+0,1+0,85+0+0,50)/5=1,81/5=0,362

La proportion d'étudiants ayant bien répondu à k questions sur 5 est donc approchée par la loi binomiale B(5;0.362).


Tu souhaites connaître la proportion d'étudiants ayant bien répondu à
0 question sur les 5 : 10,6%
1 question sur les 5 : 30,0%
2 questions sur les 5 : 34,0%
3 questions sur les 5 : 19,3%
4 questions sur les 5 : 5,5%
5 questions sur les 5 : 0,6%