Numérologie du 3

[grantstewart]

Bonsoir à tous.

Je tombe sur un résultat que je ne comprends pas
en additionnant les chiffres de la manière suivante :

0+1+2=3
3+4+5=12=3
6+7+8=21=3
9+10+11=30=3
12+13+14=39=12=3
15+16+17=48=12=3
18+19+20=57=12=3
21+22+23=66=12=3
24+25+26=75=12=3
27+28+29=84=12=3
30+31+32=93=12=3
33+34+35=102=3
36+37+38=111=3
39+40+41=120=3
42+43+44=129=12=3
45+46+47=138=12=3

Pourquoi trouvons-nous le résultat 3 à chaque fois en continuant sans fin ?
Pouvez-vous me donner une explication mathématique ?

En vous remerciant d'éclaircir ceci...

[lynux]

Salut,
Je ne comprends pas pourquoi on trouve = 3 mais par contre parmi l à trois nombres additionnes à chaque fois le premier est congru à 0 mod 3 puis le deuxième à 1 puis le deuxième à 2 et donc leur donne est divisible par 3.

[Ben314]

Salut,
C'est relativement couillon (mais si on le sait pas...)

Quand tu écrit un nombre sous forme décimale, par exemple N=57 436, les chiffres 5, 7, 4, 3, 8 qui le composent, en fait ils signifient que N = 5x10 000 + 7 x1 000 + 4x100 + 3x10 + 6.
Or, une constatation bébète, c'est que 10-1 = 9 = 9x1 ; 100-1 = 99 = 9x11 ; 1 000-1 = 999 = 9x111 ... sont tous des multiples de 9 et que si on écrit
N= 5 x (9x1 111+1) + 7 x (9x111+1) + 4 x (9x11+1) + 3 x (9x1+1) + 6
N = 9 x ( 5x1 111 + 7x111 + 4x11 + 3x1 ) + 5 + 7 + 4 + 3 + 6
ben on constate que 57 438 et 5 + 7 + 4 + 3 + 6 = 25 diffèrent d'un multiple de 9 ce qui signifie qu'ils ont le même reste de division par 9. Et, si comme ici, où elle vaut 25, la somme des chiffre fait un nombre à plusieurs chiffres, on peut bien sûr recommencer en disant que le reste de la division de 25 par 9, c'est le même que celui de 2+5=7 par 9, donc c'est 7.
Bilan : le reste de la division de 57 436 par 9 est 7.

Bref, l'opération consistant à faire la somme des chiffres d'un nombre puis recommencer si le résultat obtenu contient plus de 2 chiffres, ben au final, ça donne le reste de la division par 9 (sauf le cas particulier où le nombre est divisible par 9 où ça donné évidement 9 et pas 0). C'est cette propriété qui est la clef de ce qu'on appelle "la preuve par 9" et qui était enseignée dans le temps dés le primaire.

Pour en revenir à ton problème, vu que tu prend les nombres 3 par 3 en commençant à 0, c'est que le premier des 3 c'est toujours un multiple de 3, donc de la forme 3k (avec k entier naturel).
Donc la somme des 3, c'est 3k+(3k+1)+(3k+2) = 9k+3 qui, évidement, a 3 comme reste de division par 3.

[Pseuda]

Bonsoir,

Une somme de 3 nombres consécutifs est toujours un multiple de 3 (car on a (x-1)+x+(x+1)=3x). De plus, quand on additionne les chiffres d'un nombre qui est un multiple de 3, on obtient un multiple de 3 (car la somme des chiffres d'un nombre est congru à ce nombre modulo 9 et modulo 3, si tu connais les congruences). Donc en additionnant sans fin, on obtient à la fin un nombre à un seul chiffre multiple de 3 : c'est 3 ou 9.

Tu obtiens 3 à chaque fois dans tes sommes, parce que le nombre au centre n'est pas un multiple de 3. Avec un nombre au centre multiple de 3, on obtiendrait 9 : par exemple 5+6+7=18=9.

Pas vu le message de Ben314. Je laisse.

[Elias]

Salut,

une fois que tu as compris que la somme de trois entiers consécutifs était toujours divisible par 3 (quel que soit l'entier de départ choisi), tu peux montrer que la somme de 5 entiers consécutifs est toujours divisible par 5.
Et la somme de 7 entiers consécutifs est toujours divisible par 7.

De manière générale, si est un entier naturel impair, la somme de entiers consécutifs est toujours divisible par .

En revanche, ça ne marche jamais lorsque k est pair.


Tu peux même montrer si tu veux aller plus loin que la somme de entiers consécutifs est divisible par si et seulement si est impair.

[grantstewart]

Etes-vous sûrs que vos explications sont pertinentes ?

[Ben314]

sûr et certain...

[pascal16]

du moment qu'on écrit

12+13+14=39=12=3

on devrait croire toute démonstration mathématique, même faire intervenir Mulder et Skuly.

[grantstewart]

Elargissement du résultat...

0+1+2=3
3+4+5=12=3
6+7+8=21=3
9+10+11=30=3
... =3

1+2+3=6
4+5+6=15=6
7+8+9=24=6
10+11+12=33=6
... =6


2+3+4=9
5+6+7=18=9
8+9+10=27=9
11+12+13=36=9
... =9

Voilà, c'est tout !