Nombre complexe

[TheMoby]

Bonjour, la question est :
Donner la forme exponentielle du nombre complexe 3/4 + ​​√(3)/4i.
J'ai trouvé : r=|z|=√(3)/2
Ensuite, je bloque. J'ai cherché un corrigé de mon exercice sur internet et en le regardant je suis tombé sur
3/4 + ​​√(3)/4i = ​√(3)/2 * (​​ √​(3)/2 + 1/2i )
Je suppose que ça a un lien avec z=r(cosØ+isinØ) mais je n'arrive pas à comprendre cette égalité.
Quelqu'un peut il m'aider ?

[Yezu]

Salut, la méthode classique à faire ici dans les exos lycée, c'est d'exprimer en fonction de son module :
avec un nombre complexe de module 1. Le point image de z' dans le plan complexe est donc un point appartenant au cercle trigo. Son affixe est donc de la forme avec un argument de z' modulo 2 pi. Niveau lycee, tu peux très vite en déduire la valeur de (qui est aussi un argument de z modulo 2 pi).

[Lostounet]

Bonjour, la question est :
Donner la forme exponentielle du nombre complexe 3/4 + ​​√(3)/4i.
J'ai trouvé : r=|z|=√(3)/2
Ensuite, je bloque. J'ai cherché un corrigé de mon exercice sur internet et en le regardant je suis tombé sur
3/4 + ​​√(3)/4i = ​√(3)/2 * (​​ √​(3)/2 + 1/2i )
Je suppose que ça a un lien avec z=r(cosØ+isinØ) mais je n'arrive pas à comprendre cette égalité.
Quelqu'un peut il m'aider ?

Bonjour,
Reprenons tout !
Tout d'abord, le module d'un nombre complexe z, qui est le nombre r = |z| est en fait la distance entre l'origine du repère et le point qui représente ce complexe dans le plan orthonormé.
Si nous faisons un schéma, en plaçant le point d'affixe 3/4 + ​​√(3)/4i, nous pouvons placer le point H qui est le projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. Nous voyons apparaître un triangle rectangle AOH.


En d'autres termes, r s'exprime avec le théorème de Pythagore:


Donc , donc comme tu l'as bien trouvé.

Maintenant comme tu le sais, nous devons calculer l'angle qui correspond à l'angle . Pour calculer cet angle nous pouvons utiliser le sinus ou le cosinus dans le triangle rectangle !

Par exemple, ...
Donc
tu peux donc trouver cet angle AOH en utilisant la touche cos^(-1) ou bien en regardant un tableau avec des angles remarquables !

Nous pouvons faire la même chose avec le sinus de theta = coté opposé/hypoténuse, on trouverait alors

Ici, ils font en fait apparaître directement à la fois le sinus et le cosinus de l'angle theta dans la formule
.


Cela signifie, par identification de la partie réelle et partie imaginaire, que: et que.. il suffit donc de regarder un tableau avec des angles remarquables pour voir que vaut theta. Cela revient au même !


Après, la formule ne sort pas des nuages.
Il suffit de constater sur le dessin que le point A a pour coordonnées (OH ; AH).

Or puisque cos(AOH) = OH/r, alors OH = r*cos(AOH) = r*cos(theta).
sin(AOH) = AH/r, alors AH = r*sin(AOH) = r*sin(theta)

Donc en fait, A a pour coordonnées (r*cos(theta); r*sin(theta)). Cela représente bien le complexe
r*cos(theta) + i*r* sin(theta)
= r(cos(theta) + i sin(theta))

[TheMoby]

Je suis parvenu à comprendre. Merci beaucoup pour vos réponses.