Suite de fonctions

[alb1du29]

Bonjour,
je suis face à l'exercice suivant : Soient continues de [a,b] dans R, avec à valeurs dans et f à valeurs dans . On pose
1) Montrer que les suites et convergent vers des limites à déterminer
2) Etudier le cas où est à valeur dans

Voici ce que j'ai commencé à faire :
1) Puisque f et phi sont continues sur un segment, elle sont bornées et atteignent leurs bornes, on peut donc définir une norme infinie.
Ainsi,
Le problème c'est quetend alors vers et je trouve ça bizarre ! De même, je trouve que tend aussi vers

2) Je ne vois pas du tout ce que ça pourrait changer, mais j'imagine que c'est dû à mon mauvais résultat à la question précédente.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer où est-ce que j'ai fait une erreur et ce qu'il trouve, ce serait cool. Merci et bonne soirée !

[Lostounet]

1) Puisque f et phi sont continues sur un segment, elle sont bornées et atteignent leurs bornes, on peut donc définir une norme infinie.
Ainsi,
Le problème c'est quetend alors vers et je trouve ça bizarre ! De même, je trouve que tend aussi vers

Salut,
Oui toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes. Donc on peut parler de la norme infinie.
Par contre, cela signifie uniquement que pour tout x de l'intervalle [a, b], idem pour la fonction .

Donc déjà dire que l'intégrale In est égale aux normes infinies me semble bizarre: cela donne uniquement une majoration de In...non?

[alb1du29]

Bonjour,
oui je me suis trompé on peut seulement dire que donc il faudrait voir si on ne peut pas trouver une majoration plus préciser de qui tendrait vers 0 ou bien la minorer par si c'est possible....

Sinon j'ai pensé à l'inégalité de Cauchy Schwarz pour les fonctions mais ici ça ne semble pas trop fonctionner!

De plus je me suis trompé dans la deuxième ce n'est pas phi à valeurs dans R mais phi à valeurs dans R+ seulement. phi peut donc être nul et je pense qu'il faut travailler la dessus, ou bien même être égale à f.

[Lostounet]

,
oui je me suis trompé on peut seulement dire que donc il faudrait voir si on ne peut pas trouver une majoration plus préciser de qui tendrait vers 0 ou bien la minorer par si c'est possible....
.

Je ne suis pas encore d'accord avec cette inégalité...?
Pourquoi Phi a disparu? Et (b - a)?

[alb1du29]

On peut dire que donc
Et quand on fait tendre n à l'infini

[Ben314]

Salut,

Je suis face à l'exercice suivant : Soient continues de [a,b] dans R, avec à valeurs dans et f à valeurs dans . On pose

Perso, c'est surtout l'énoncé qui me semble on ne peut plus louche : si je prend le cas le plus simple qui me vient à l'esprit, àa savoir [a,b]=[0,1] ; phi constante = 1 et f constante =-1 alors In=--1)^n et ça m’étonnerais fort que la racine n-ième de (-1)^n ça converge !!!!!

[alb1du29]

Oui il y avait une erreur dans l'énoncé, c'est f a valeur dans R+ !
Désolé

[Ben314]

Dans ce cas, effectivement, c'est pas trop compliqué, en tout cas pour :
- D'un coté on a la majoration évidente (avec la norme sup)
- D'un autre coté, pour tout , comme est continue, il existe non réduit à un point tel que pour tout donc avec .
Et les deux constats prouvent effectivement que

Par contre pour la limite de , ça me semble un peu plus coton.
Si elle existe, c'est forcément la même (résultat archi classique), mais pour montrer qu'elle existe, ça me semble bien moins évident (peut-être la monotonie ???)

[Kolis]

Il y a une réponse sur l'autre forum !
https://www.ilemaths.net/sujet-suite-de-fonctions-787477.html
Extravagant que les questionneurs ne suivent pas leur demande !

Pour le cas où peut s'annuler, des réponses bêtes :
Si identiquement nulle les sont nuls, il n'y a plus d'exercice.
Si mais les fonctions non identiquement nulles, même réponse.

Une réponse moins bête :
En prenant , la fonction et nulle sur affine sur et on peut calculer explicitement et constater que les suites ont une limite commune qui n'est pas la borne supérieure de , qui vaut 1.