Salut,
pour la distance d, je noterai en valeur absolue pour que ça soit plus lisible....
Soit
.
Comme
est de Cauchy, il existe
entier tel que pour tout
. (*)
Comme
tend vers 0, il existe
entier tel que pour tout
(**)
Posons
.
Prenons
deux entiers tels que
et
et montrons que
.
Si p et q sont pair, alors
et
et comme
et
, le résultat s'ensuit d'après (*).
Si p est pair et q impair. Alors on écrit :
.
Première inégalité car p, q+1 sont tous deux pairs et p/2 et (q+1)/2 sont tous deux supérieurs à
.
Deuxième inégalité car
et en utilisant (**).
Enfin, si p et q sont tous deux impairs, alors
d'après (*) puis (**) puis (*).
PS : mathelot plus rapide.
Pseudo modifié : anciennement Trident2.