Pomme, banane, ananas...

[Lostounet]

Bonjour,

Voici une énigme intéressante mais assez difficile que j'ai vue sur Facebook.



Il s'agit de trouver trois entiers positifs (les fruits).
Quelqu'un a-t-il des pistes pour ce genre d'équations diophantiennes..?

[aviateur]

bonjour
Ne pas tenir compte de mon message, je réfléchis!!

[Viko]

Bonjour,

Hum je crois justement que la blague c’est qu’on ne sait pas resoudre algebriquement cet equation (j’y mettrais pas ma main au feu mais je crois me souvenir que c’etait le cas ) En revanche on connait certaines solutions qui sont tout a fait monstrueuses et trop longue pour etre ecrite a la main et qui ont ete trouvées par brut force informatique

Ils en parlent ici (attentionsi tu ne veux pas etre spoilé le tout dernier post fourni la plus petite solution): https://math.stackexchange.com/question ... -fraczyx-4

[Lostounet]

Bonjour,

Merci mais.... je sais chercher sur le web :p...et je l'ai déjà fait.

Je voulais surtout voir d'autres pistes et ce qu'en pensent les personnes ici de la meilleure façon d'approcher le problème.

Donc pourquoi mettre un lien vers un autre forum?

[Imod]

Bonjour

Le problème est clairement très compliqué , il est naturel de voir ce qui est proposé ailleurs

Pour moi c'est trop lourd .

Imod

[Ben314]

S'il y en a que ça intéresse, là :
https://www.quora.com/How-do-you-find-t ... ac-z-x+y-4
il y a une explication "relativement" simple concernant le "d'où sort" la solution en question.

[aviateur]

Bonjour
Je n'ai pas le temps de réfléchir pour finir mais j'en suis arrivé là:
le problème est équivalent à trouver les entiers a,b >0

tels que
a^3= a w + z
où
w = 23 + 23 b + 6 b^2;
z = 42 + 63 b + 29 b^2 + 4 b^3;

Au minimum c'est une nouvelle énigme.

[beagle]

…………………….. ...

[chan79]

J e sais pas si c'est important mais le fruit rouge c'est une fraise ou une pomme?
les deux autres sont banane et ananas je pense.

On aurait pu mettre des pommes, des poires et des scoubidous( pour les anciens ...)

[beagle]

………….

[pascal16]

c'est l'image typique d'une pomme avec sa feuille sur le coté.
la fraise a une collerette.

lancement d'un programme sur le pc, pas de solution pour a<=b<=c<=5000

[beagle]

...............…..

[Lostounet]

Bonjour
Je n'ai pas le temps de réfléchir pour finir mais j'en suis arrivé là:
le problème est équivalent à trouver les entiers a,b >0

tels que
a^3= a w + z
où
w = 23 + 23 b + 6 b^2;
z = 42 + 63 b + 29 b^2 + 4 b^3;

Au minimum c'est une nouvelle énigme.

Merci Aviateur !
Est-ce plus simple, formulé ainsi?

Il y a déjà une inconnue de moins..

[aviateur]

Bonjour
J'ai fait une erreur. Ce n''est pas équivalent.
Sinon ce problème n'a pas de solution mais on sort du sujet.
Laissons tomber pour l'instant.

[pascal16]

j'avais trouvé une autre écriture, mais j'ai jeté mon brouillon.

ça donnait un truc du genre : (a+b+c)³ - 2(a³+b³+c³)-abc=0
mais rien à en tirer, sans le '2', on se retrouvait avec des considérations géométriques de volume faisables.

[aviateur]

Voici une méthode de calcul pour trouver une solution.
D'abord à cause de l'homogénéité du membre de gauche on peut choisir c=1 et chercher a,b rationnels positifs.
L'équation est équivalente à où


Soit et qui sont solutions mais pas positifs comme demandés.

Alors on pose
et on cherche t tel que



C'est une équation polynomiale à coefficients rationnels de degré 3 par rapport à t qui admet comme solution évidente t=0 et t=1. Donc il est facile de trouver la troisième racine qui est rationnelle.

Ainsi est une nouvelle solution rationnelle.


Si est un couple de nombre positifs alors on a résolu le problème.

Sinon on réitère en remplaçant par


Les calculs sont élémentaires mais fastidieux, j'ai donc utilisé une machine pour trouver la solution en 7 itérations voici le premier couple calculé et le dernier (la solution)


*****

[Imod]

Oui , c'est la méthode exposée dans le lien fourni par Ben

"Elémentaire" mais avec la grosse Bertha pour les calculs .

Imod

[aviateur]

Oui , c'est la méthode exposée dans le lien fourni par Ben
Imod

Bonjour, pas tout à fait!
Je travaille ici directement sur l'expression h(a,b)=0 sans passer par une courbe elliptique symétrique par rapport à Ox. (Soit C cette courbe)
Il y a plusieurs avantages à cela:
1) premier avantage: inutile de chercher la bonne transformation (a,b) en fonction de (x,y)
2) second avantage à chaque étape l'équation polynomiale est bien plus simple à résoudre.
Comme je l'ai dit il y a 2 racines t=0 et t=1.
3) D'un point de vue théorique c'est évident que la 3ème solution est rationnelle.

Maintenant dans le message donné par @ben (mais qui a disparu en grande partie) l'auteur utilise des connaissances sur C (que je n'ai pas).
En particulier il est affirmé que la courbe C est de rang 1 (qu'est ce que cela veut dire précisément, j'ai une idée mais...?) et c'est affirmé mais sans explication ou justification.
Disons qu'il y a + d'info en passant par C en particulier comment obtenir toutes les solutions mais mais il faut étudier les courbes elliptiques.

[Imod]

Tu as en partie raison

Ta solution est beaucoup plus facile à lire car elle se concentre exclusivement sur l'exemple sans essayer de généraliser . Le passage par x et y permet de trouver le premier triplet solution ( je ne sais pas comment il est construit mais il a l'air de se justifier dans l'étude des fonctions elliptiques ) alors que ton premier couple ( certes pas trop compliqué ) est donné sans explication . Il me semble que la suite est équivalente mais je reconnais que ta formulation est plus claire car elle ne fait pas référence à des théories un peu trop éthérées ( pour moi )

Imod

[aviateur]

Bonjour @imod
En fait la première solution , on la trouve assez facilement en cherchant les triplets (a,b,c) solutions dans un ensemble fini pas trop grand (bien sûr il faut admettre les solutions négatives sinon on ne trouve rien).
Pour la deuxième je considère la tangente à la cubique "h(a,b)=0" au point
Comme nous avons un point double, l'équation à résoudre étant du troisième degré elle est facile à résoudre
et on est sûr d'avoir une solution rationnelle. Mais on prend son symétrique (échanger a et b) pour pouvoir poursuivre le procédé.
On crée ainsi une suite de solutions rationnelles qui a un moment donne un triplet (a,b,1) positifs.