Les suites

par **joanny** » 04 Nov 2006, 18:48

bonjour à tous,

j'ai un gros problème à vous exposer un exo de maths beaucoup tros dur pour moi.

enoncé:
Soit la suite définié par u0= 0 et UN+1= ( 3Un +2) / (Un + 4) pour tout n deN

1. Démontrer que pour tout n de N, on a 0 ;) Un ;) 1
2. Démontrer que pour tout n de N, Un+1 - Un = [(1-Un)(Un+2)° / (Un +4)
3. En déduire le sens de variation de la suite Un

Merci d'avance pour toutes vos futures réponses
a bientot

par **Sdec25** » 04 Nov 2006, 18:55

Bonjour

Pour la 1 essaie avec une récurrence.

Pour la 2, calcule u(n+1) - u(n) et mets au même dénominateur.

par **Elsa_toup** » 04 Nov 2006, 19:09

Tu t'en sors ? C'est la bonne méthode en tout cas ....

par **joanny** » 04 Nov 2006, 20:35

pour la 2 ji suis arriver mais je n'y arrive pas avec la récurence

merci :briques:

par **Elsa_toup** » 04 Nov 2006, 21:01

Alors la récurrence:
1. tu vérifies la propriété pour les premiers termes.
Ici : Uo =0, donc on a bien 0 <= Uo <= 1
2. Tu supposes que c'est vrai pour Un.
On a donc : 0<= Un <= 1
3. On va le montrer pour U(n+1):
Donc: 0 <= Un <= 1
4 <= Un+4 <= 5
1/5 <= 1/(Un+4) <= 1/4 (on inverse les inégalités quand on divise)

Et, pour le numérateur, 0 <= 3Un <= 3
2 <= 3Un+2 <= 5

On multiplie les deux : 2/5 <= (3Un+2)/(Un+4) <= 5/4

Et là, on est ravis, ça ne marche pas ! (lol)

Non, c'est pas drôle.
J'y réfléchis en mangeant et je reviens te faire part de mes éclairs de génie dans la soirée.

par **mathador** » 04 Nov 2006, 21:13

En effet, la récurrence n'est pas si simple ! Quand la majoration "brutale" ne fonctionne pas, il faut être plus précis : pourquoi ne pas étudier la fonction f : x |---> (3x + 2)/(x + 4) pour x dans [0;1] ? avec un tableau de variation, on pourra essayer de montrer qu'elle reste entre 0 et 1 :id:

par **joanny** » 04 Nov 2006, 21:22

merci pour tous ces conseil
merci d'y réfléchir encore
il faut le faire avec la réccurence
meric beaucoup

par **Elsa_toup** » 04 Nov 2006, 21:47

Oui c'est tout à fait comme le dit Mathador: tu poses f(x) = (3x+2)/(x+4)
et donc: U(n+1)=f(Un).
Tu étudies f(x) pour x entre 0 et 1 (en dérivant) et tu trouves le résultat.
(si tout va bien, tu trouves même 1/2 <= U(n+1) <= 1.

La question 2 c'est du calcul, et la 3 se déduit de la 2.

par **joanny** » 05 Nov 2006, 12:01

merci beaucoup je pense réussir à la faire même si je n'en suis pas persuader

par **Elsa_toup** » 05 Nov 2006, 12:07

Si tu veux, quand tu as fini, dis-moi ce que tu as écrit, et je te dis si c'est bon (c'est la partie la plus agréable pour moi ça :we: )

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