Fonction caractéristique de loi normale

[klaimouad]

Bonjour,
comment montrer que la fonction caractéristique d'une variable de loi normale centré est égale à
Mercii d'avance

[Elias]

Salut,

Bonjour,

Fonction caractéristique de la loi normale ? Si tu veux parler de la fonction de densité, c'est par définition et il manque quelque chose devant.

Nan, c'est bien la fonction caractéristique.
Si X est une variable aléatoire, alors la fonction caractéristique est par définition la fonction notée définie pour tout réel t par (où E désigne espérance). C'est une fonction à valeurs complexes qui caractérise la loi de probabilité de la variable aléatoire.

Ici, si X est une loi normale centrée réduite, elle possède une fonction de densité et donc on peut s'en servir comme calcul d'espérance.
Donc pour tout t,


Après, c'est la technique "classique". Tu écris que :


D'où


Puis on passe à l'intégrale, on sort le et on calcule classiquement l'intégrale restante qui est du type e^(-X²/2) avec X=x-it (changement de variable qui n'a aucune incidence) et on trouve qui s'annule avec le

Je te laisse faire les calculs.

[klaimouad]

mercii beaucoup , j'ai pensé en premier à la decomposition en série entiere de exp(itx) mais bon celle là est un meilleur astuce j'ai trouvé exp(- t^2 / 2 )