Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Gegetaka
Membre Naturel
Messages: 14
Enregistré le: 24 Mai 2018, 15:13

Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Gegetaka » 26 Mai 2018, 23:32

Bonjour tout le monde,

J'ai du mal à comprendre cette question....Pourriez vous m'aider svp ?

Énoncé : On donne un triangle quelconque ABC et une droite parallèle à BC passant par le centre de gravité du triangle ABC.

Cette droite coupe AB et AC en D et E respectivement.

On demande de prouver que le volume engendré par le triangle ADE tournant autour de DE et le volume engendré par le trapèze DECB tournant également autour de DE sont équivalents.


Ce que j'ai essayé de faire : Je sais que là rotation d'un triangle autour d'un axe fixe est un cône de révolution mais je ne sais pas si je dois prendre AD ou AE comme rayon..... Et pour le volume engendré par le trapèze je n'ai aucune idée... Aidez svp

Merci d'avance



aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par aviateur » 27 Mai 2018, 00:16

Bonjour
Connais-tu (voir wikipedia par exemple) ?
"La règle de Pappus (ou théorème de Guldin) permet de calculer le volume d'un solide de révolution connaissant le barycentre de la surface plane génératrice."

Gegetaka
Membre Naturel
Messages: 14
Enregistré le: 24 Mai 2018, 15:13

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Gegetaka » 27 Mai 2018, 07:47

Non je le connaissais pas il faut dire que ce théorème est de moins en moins utilisé.... Et je ne comprends pas réeleement comment l'appliquer tu serais comment faire ?

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Pseuda » 27 Mai 2018, 16:46

Gegetaka a écrit:Bonjour tout le monde,

J'ai du mal à comprendre cette question....Pourriez vous m'aider svp ?

Énoncé : On donne un triangle quelconque ABC et une droite parallèle à BC passant par le centre de gravité du triangle ABC.

Cette droite coupe AB et AC en D et E respectivement.

On demande de prouver que le volume engendré par le triangle ADE tournant autour de DE et le volume engendré par le trapèze DECB tournant également autour de DE sont équivalents.


Ce que j'ai essayé de faire : Je sais que là rotation d'un triangle autour d'un axe fixe est un cône de révolution mais je ne sais pas si je dois prendre AD ou AE comme rayon..... Et pour le volume engendré par le trapèze je n'ai aucune idée... Aidez svp

Merci d'avance

Bonjour,

Qu'appelles-tu volumes équivalents ? volumes égaux en mesure ?

Sinon, la rotation d'un triangle autour d'un axe n'est pas forcément un cône de révolution : il faut que le triangle soit isocèle de base le segment de l'axe.

Pour calculer les volumes engendrés par la rotation, tu peux découper les figures le long de la hauteur (du triangle et du trapèze) et les faire tourner autour de la base.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21479
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Ben314 » 27 Mai 2018, 18:26

Salut,
Perso, je suis pas sûr de bien comprendre la question :
Ce que je visualise facilement, quand on parle de "surface" (ou volume) de révolution, c'est quand on fait tourner un truc (courbe et/ou surface) contenu dans plan autour d'une droite et que l'objet en question est entièrement contenu du même coté de la droite. Par exemple, si on fait tourner un disque autour d'un axe ne rencontrant pas le disque => on obtient un tore usuel (=une chambre à air). Dans ce cas là, si le rayon du disque est r et si la distance du centre du disque à la droite est R alors le volume du tore est 2.pi^2.r^2.R.
Mais, cette formule n'est évidement valable que si la droite ne coupe pas le disque (i.e. r<R) car pour l'obtenir, on a supposé que les différents disques obtenus après les différentes rotation (d'angle quelconque) étaient disjoints et c'est évidement faux si la droite coupe le disque.

Bref, pour en revenir au sujet, l'application de la formule donnant le volume d'un "truc de révolution" en fonction de la surface du truc (et de la distance du centre de gravité à la droite) ne risque pas de s'appliquer sur le triangle tout entier qui chevauche bien évidement la droite.
Par contre, on pourrait applique la fameuse formule pour obtenir le volume obtenu en faisant tourner le trapéze (EDBC) ou bien celui obtenu en faisant tourner le triangle (ADE) qui tout les deux sont d'un seul coté de la droite (DE).
Et comme l'objet obtenu en faisant tourner tout le triangle (ABC) est évidement la réunion des deux, pour montrer que c'est la même chose qu'en ne faisant tourner QUE le trapéze (EDBC), il faut (et il suffit) de montrer que le truc obtenu en faisant tourner le triangle (ADE) est contenu dans le truc obtenu en faisant tourner le trapéze (EDBC). Ce qui revient à montrer que, dans la plan, le symétrique de (ADE) par rapport à (DE) est contenu dans le trapèze (EDBC).
Sauf que... ça me semble franchement faux...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par aviateur » 29 Mai 2018, 01:06

Gegetaka a écrit:Non je le connaissais pas il faut dire que ce théorème est de moins en moins utilisé.... Et je ne comprends pas réeleement comment l'appliquer tu serais comment faire ?

Bonjour
Tu ne connais pas le théorème en question mais alors comment sait tu qu'il est de moins en moins utilisé?

Maintenant c'est une question de niveau lycée: tu peux pour commencer et pour simplifier supposer que ton triangle est rectangle (de toute façon cela ne change pas grand chose faire un dessin et penser à Thalès et je fais cela pour simplifier mes explications )

Alors le triangle que tu fais tourner engendre un cône, donc tu peux appliquer la formule du volume du cône (comme une formule toute faite i.e admise) soit v1 ce volume


Pour le trapèze que tu fais tourner, tu peux le découper en un rectangle et un triangle.
Le rectangle engendre un cylindre dont tu peux appliquer la formule du volume soit v2 le volume.
Pour le triangle qui reste (il n'engendre pas un cône) Pour ne pas appliquer "Guldin" tu peux voir que ce volume c'est un "cylindre moins un cône". Donc tu peux calculer son volume soit v3 ce volume.

Alors il est facile devoir que v1=v2+v3. (Bien sûr faire un dessin et appliquer un peu Thalès.)

Pour un triangle qcq cela revient quasiment au même .

Remarque c'est vrai que la question est un peu mal formulé mais malgré tout on devine bien ce qui est demandé.

Gegetaka
Membre Naturel
Messages: 14
Enregistré le: 24 Mai 2018, 15:13

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Gegetaka » 29 Mai 2018, 11:18

Mais pour engendre un cône de révolution le triangle ne doit pas être isocèle à la base ? De plus on précisé bien que la droite passe par le centre de gravité , fin je veux dire comment on peut exploiter cette donné ?

FLBP
Habitué(e)
Messages: 289
Enregistré le: 25 Aoû 2017, 03:07

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par FLBP » 29 Mai 2018, 14:06

Salut,
Vu que tu coupes le triangle en son centre de gravité, les deux parties auront la même aire. Ensuite tu montres que les distances entre les centres de gravité du triangle et du trapèze, et de l'axe sont isométriques. Et c'est dans la poche :)

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21479
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Ben314 » 29 Mai 2018, 15:35

FLBP a écrit:Vu que tu coupes le triangle en son centre de gravité, les deux parties auront la même aire.
Heuuuu.....
J'ai de GROS DOUTES !!!
Le centre de gravité, il est au 2/3 des médianes donc, en reprenant les lettres de l'énoncé, le triangle ADE, c'est un homothétique de ABC avec un rapport de 2/3 (et une homothétie centrée en A bien sûr).
Sauf qu'au dernières nouvelles, (2/3)², ben ça fait pas 1/2...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Pseuda » 29 Mai 2018, 18:50

Gegetaka a écrit:Mais pour engendre un cône de révolution le triangle ne doit pas être isocèle à la base ? De plus on précisé bien que la droite passe par le centre de gravité , fin je veux dire comment on peut exploiter cette donné ?

Bonsoir,

Pour moi, un cône de révolution est un cône droit, c'est-à-dire un triangle rectangle qui tourne autour d'un des côtés de l'angle droit. Sinon, on parle d'un cône. La formule classique du volume d'un cône est celle d'un cône droit.

Pour exploiter le centre de gravité, celui-ci est situé sur les médianes du triangle à 2/3 des sommets. Pour calculer les volumes, il faut les découper en volumes droits, donc il faut dessiner les hauteurs. Soit h la hauteur du triangle ADE issue de A, et k celle du triangle ABC issue de A. Alors, h=2/3*k (théorème de Thalès).

Donc découpe le triangle ADE en 2 triangles rectangles, et le trapèze DEBC en 2 triangles rectangles et un rectangle, et fais-les tourner autour de DE.

FLBP
Habitué(e)
Messages: 289
Enregistré le: 25 Aoû 2017, 03:07

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par FLBP » 29 Mai 2018, 23:05

@Ben : Je parlais de l'aire des deux parties engendrées par la coupe

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21479
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Ben314 » 29 Mai 2018, 23:15

FLBP a écrit:@Ben : Je parlais de l'aire des deux parties engendrées par la coupe
Oui, ... et moi aussi....
Donc bis et répéta : si tu coupe un triangle à l'aide d'une droite passant par le centre de gravité et parallèle à un des cotés, tu obtient
- d'un coté un triangle semblable à celui de départ et dont l'aire est (2/3)^2=4/9 de celle du triangle de départ.
- de l'autre coté un trapèze dont l'aire est égale à 1-4/9=5/9 de celle du triangle de départ.
Et donc ça ne coupe absolument pas "en deux parties de même aire".
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par aviateur » 30 Mai 2018, 02:09

Bonjour
Voir image ci-dessous (et la solution dans le cas d'un triangle rectangle pour laisser un peu de travail)
https://postimg.cc/image/wxe4o5qzx/

Je pose et G est le centre de gravité.

Soit le volume engendré par le triangle AFJ et celui engendré par le trapèze FJCB

On a

et (volume d'un cylindre moins un volume de cône)

Mais par Thalès et ce qui donne


Remarque: l'hypothèse que la droite est // à (BC) est superflue, il suffit qu'elle passe par G et même
cela reste vrai pour n'importe quelle "patatoïde plane" traversée par une droite D qui passe par son centre de gravité. C'est à dire que cette droite partage la figure en 2 parties, qui par rotation autour de D donnent 2 solides de même volume. La démo est très simple.
A mon avis cela doit être un principe physique connu.

Gegetaka
Membre Naturel
Messages: 14
Enregistré le: 24 Mai 2018, 15:13

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Gegetaka » 30 Mai 2018, 10:42

Mais quand tu calculé le volume du cylindre tu admet h1 comme le rayon mais h1 n'est pas plutôt la motié de la hauteur dans ce cas là ?

aviateur
Habitué(e)
Messages: 3853
Enregistré le: 19 Fév 2017, 11:59

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par aviateur » 30 Mai 2018, 12:24

C'est bien connu que le centre de gravité est situé au 1/3 à partir du pied de la médiane. D'ailleurs j'ai mis sur la figure le point D qui avec G partagent la médiane en 3 parties égales.
Et par Thalès h_1 c'est bien h/2.

Gegetaka
Membre Naturel
Messages: 14
Enregistré le: 24 Mai 2018, 15:13

Re: Volume engendré par rotation autour d'un axe fixe

par Gegetaka » 30 Mai 2018, 13:26

Merci je pense avoir compris le problème , on m'a aussi expliquer pour rendre le triangle rectangle sans en changer les " généralités " ben on déplace un sommet parallèlement à une base tel que le triangle quelconque devienne rectangle ( la surface , la distance entre le sommet et le centre de gravité , la distance entre le sommet et la base du triangle reste inchangé ) Du coup les volumes engéndres qu'on détermine dans ce nouveau triangle rectangle obtenu les mêmes que ceux dans l'autre triangle quelconque

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 126 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite