Plan tangents à des sphères

[Gegetaka]

Bonjour tout le monde
Je suis actuellement bloqué sur un exercice depuis des heures pourriez vous m'aider s'il vous plaît ??

Énoncé: Soient les sphères S1 de centre O1 et de rayon O2 et de rayon R2.

On donne les valeurs numériques suivanteq:
-O1 (0,20,0)
-O2 (40,40,40)

On demande de déterminer le nombre de plans tangents simultanément à la sphère S1 et S2 et parralleles à l'axe OZ.

Ce que j'ai essayé de FAIRE:

Soit P le plan d'équation : ax+by+c+d=0

J'obtiens facilement c=0 en effectuant le produit scalaire d'un vecteur normale du plan et du vecteur directeur de OZ ( j'ai choisi (0,0,1)

Après je sais qu'un plan est tangent à une sphère si la distance du centre de la sphère au plan vaut celle du rayon , j'applique donc la formule de la distance d'un point à un plan ( ou je l'appliqué pour chacune des centres des 2 sphères ) mais ça ne m'avance à rien

Auriez vous une idée ?

Merci d'avance

[Gegetaka]

?

[aviateur]

Peux-tu donner un énoncé correct. S_1 et S_2 c'est quoi?

[Gegetaka]

Ah désolé j'ai oublier de préciser que S1 est de rayon 10 et S2 de rayon 20

[pascal16]

Juste quelques observations géométriques.

en se basant sur la droite (O1 O2) :
on voit que les plans tangents "extérieurs" aux deux sphères vont couper (O1 O2) en un point fixe et les droites contenant les points tangents décrivent un cone.
idem pour les plans tangents "intérieurs" aux deux sphères.

je fais un dessin et je reviens

[pascal16]

maintenant, il faut regarder quelle est la meilleur façon de faire la mise en équation

[Pseuda]

Bonjour,

Tu dois savoir que : si les 2 sphères sont sécantes, il n'y a que des plans tangents extérieurement simultanément aux 2 sphères, et si les 2 sphères sont disjointes, il y a des plans tangents extérieurement et intérieurement.

Donc à mon sens, pour se faire une idée : 1ère question à se poser : S1 et S2 sont-elles disjointes ou sécantes (distance entre les centres > ou < somme des rayons) ?
2ème question : écrire l'équation des sphères et l'équation générale des plans tangents pour voir s'il y en aurait parallèles à (Oz). Mais, ceci est peut-être long et inutile :

Maintenant, pour aller au plus vite, il n'y a qu'un faisceau de plans tangents à S1 parallèles à (Oz), d'équations ou de représentation paramétrique ? ces plans sont-ils tangents à S2 ?

Eq. de la sphère de centre (a,b,c) de rayon R : (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
Eq du plan tangent à la sphère au point (x0,y0,z0) : (x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)+(z0-c)(z-z0)=0.
(équations peut-être inutiles, il doit y avoir plus rapide)

[pascal16]

+1 pour partir d'un faisceau de plans parallèles à Oz, on retombe à 1 seul paramètre

[ps] -O1 (0,20,0) -O2 (40,40,40) donc d(O1, O2) > 40⎷2 > R1+R2, mon dessin qui sert pas à grand chose est bon

[aviateur]

Bonjour
Je vois les choses autrement, je ne sais pas si c'est mieux mais je propose tout de même.
Pour la sphère les plans tangents // à Oz correspondent aux points de contact tels que z=0.
De même pour la sphère les plans tangents // à Oz correspondent aux points de contact tels que z=40.
L'intersection de S_1 avec le plan z=0 est un cercle dont l'équation est facile à obtenir. (je laisse faire le petit calcul)
De même pour S_2 avec z=40. Cercle
Un second vecteur directeur du plan tangent à et un vecteur tangent à
mais il doit être tangent à
De plus on doit avoir (Si est le point de contact pour pour )
le vecteur projeté sur le plan z=0 est aussi tangent à
Mais on voit que ce n'est pas possible.

Autrement dit je conseille de faire un dessin (plan) représentant C_1 et C_2 (projeté dans le plan z=0)
placer le point M_1 puis le point M_2 (projeté sur z=0) pour voir qu'il n'y a pas de solutions (sauf erreur de ma part)

[pascal16]

les sphères n'ont pas même rayon et (O1 O2) n'est parallèle à aucun axe, donc je ne comprends comment tu arrives à z=0 ou z=40

[Pseuda]

Les plans parallèles à (Oz) tangents à S1, le sont aux points de contacts (x0, y0, 0). Ceux tangents à S2, le sont aux points de contact (x1, y1, 40).

En effet, je rejoins @aviateur, les cercles projetés sur le plan z=0 des sphères ont pour centres respectifs (0, 20, 0) et (40, 40, 0). La distance entre les centres des cercles = V2000 est supérieure à la somme des rayons = 30. Donc il n'y a pas de point d'intersection entre les cercles projetés, et donc il n'y a pas de plan tangent commun (qui passerait pas des points de contact commun sur le plan z=0).

[chan79]

Les plans parallèles à (Oz) tangents à S1, le sont aux points de contacts (x0, y0, 0). Ceux tangents à S2, le sont aux points de contact (x1, y1, 40).

En effet, je rejoins @aviateur, les cercles projetés sur le plan z=0 des sphères ont pour centres respectifs (0, 20, 0) et (40, 40, 0). La distance entre les centres des cercles = V2000 est supérieure à la somme des rayons = 30. Donc il n'y a pas de point d'intersection entre les cercles projetés, et donc il n'y a pas de plan tangent commun (qui passerait pas des points de contact commun sur le plan z=0).

Salut
C'est mon avis aussi. On ne change rien au problème en prenant (4,4,0) comme centre de S2.
On se ramène à un problème dans le plan z=0

[pascal16]

Soit P le plan d'équation : ax+by+c+d=0

le plan est parallèle à Oz, son vecteur normal à une troisième composante nulle, il peut être ramené à ax+by+d=0
on peut ensuite simplifier par
-> soit le plan est de la forme x+ by+d =0 (a non nul, on divise par a, on renome)
-> soit by+d =0
si on rajoute que sa distance à O1 est de 10 et à O2 est de 20, on a deux équations a 2 inconnues.
soit entre 0 et 4 solutions

[aviateur]

Bonjour
Quelques remarques par rapport aux messages de nous tous.
D'abord chan79 je suis d'accord, on peut diviser tout par 10 mais je ne le ferai pas ici pour l'auteur de la question.
Ensuite @pseuda tu dit que mais moi j'ai vu c'est pas la même question. En vérifiant il me semble bien que donc je continue avec cette donnée.
Donc pour préciser si je prend un plan tangent à en un point M de . est orthogonal au plan.
Mais seul les plans parallèles à Oz nous intéressent, c'est à dire doit être "horizontal" i.e
Donc on résume comme le plan est tangent à en est sur le cercle qui est situé dans le plan z=0 et le plan est tangent à en est sur le cercle qui est situé dans le plan z=40
On projette tout sur z=0.
Je note c_2 (resp, o_2 m_2, les projeté de C_2 (resp O_2,M_2) et d la droite projeté du plan tangent).
On a bien sûr d=M_1m_2 et est tangent à C_1 et c_2
On est donc ramené à un problème plan c'est à dire trouvé les droites tangentes à la fois à C_1 et c_2.
Mais pour ma part les 2 cercles se coupent.
Donc contrairement à mon précédent message j'ai 2 solutions
la droite y=0 et son symétrique (orthogonal) par rapport à la droite O_1o2, c'est à dire la droite
d'équation y= 4/3*(x + 40).
Les plans sont donc les plans d'équation y=0 et y= 4/3*(x + 40).

[Pseuda]

Ensuite @pseuda tu dit que mais moi j'ai vu c'est pas la même question. En vérifiant il me semble bien que donc je continue avec cette donnée.
...
Mais pour ma part les 2 cercles se coupent.

Bonjour,

Les centres des sphères sont O1=(0,20,0) et O2=(40,40,40), mais les centres des cercles projetés des sphères sur z=0 sont O1=(0,20,0) et O'2=(40,40,0) ?

Ensuite, comme une sphère a le même rayon dans toutes les directions, son projeté sur un plan est un cercle de même rayon. Les projetés des 2 sphères sur z=0 sont donc 2 cercles de centre O1 et O'2 et de rayon respectif 10 et 20. Donc ils ne se coupent pas ?

Les plans tangents aux 2 sphères parallèles à (Oz) le sont aux 2 cercles, et comme ils ne se coupent pas ... c'est là l'erreur, ils ont une direction (Oz), et l'autre peut être quelconque...

Finalement, on raisonne dans le plan z=0, cela allège le problème, mais j'ai l'impression qu'on peut tout autant partir des équations du début, sans passer par les cercles. Tout cela est intuitif.

[aviateur]

Bonjour
Non @pseuda, ce que je fais n'est pas intuitif. Ce que j'appelle c'est le projeté du cercle et non pas le projeté de la sphère S_2. A priori le rayon de pourrait être plus petit que 40 mais ici c'est 40 car C_2 a pour centre
Si on désigne par P un plan qui répond à la question, son projeté orthogonal sur le plan xOy (i.e z=0)
est une droite qui est tangente à la fois à et (projeté de ). De plus
d passe par et Ceci n'est intuitif c'est une démonstration.
On est donc ramené à un problème plan facile à résoudre. Excepté qu'il y a un calcul à faire pour calculer
l'équation de la seconde droite (celle symétrique à y=0 par rapport à ().

Par contre résoudre le problème de façon purement analytique me semble bien plus compliqué.
En effet écrire l'équation générale d'un plan // à Oz et puis exprimer qu'il est tangent aux deux sphères
je ne l'ai pas fait mais je crains que l'o se retrouve avec des calculs lourds. Ceci étant dit cela mérite aussi d'essayer de le faire.

[Pseuda]

Quand je parlais d'intuitif, je parlais pour ce que j'ai écrit, pas pour ce que tu as écrit (je ne me permettrais pas).

Sinon je n'ai pas tout lu, mais le rayon de S2 est 20, pas 40 ?

[chan79]

salut
Pour les équations des 4 plans , j'ai:
avec =1 ou -1
avec =1 ou -1

[Gegetaka]

Chan , je peux savoir stp comment tu es arrivé à cette conclusion ?

[chan79]

Tu cherches les équations de plan de la forme ux+vy+1=0
La distance de (0,20,0) à ce plan doit être égale à 10.
La distance de (40,40,0) à ce plan doit être égale à 20.
Un peu de calcul; on tombe sur des équations du second degré pour obtenir u et v.