Développement en série entière

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webosfredo
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développement en série entière

par webosfredo » 20 Mai 2018, 00:05

j'ai un sujet qui me demande de résoudre une équation différentielle

On demande une solution sous forme de série entière.

Je trouve des relations entre les termes de la série.

et


je n'arrive pas à identifier un DSE remarquable à l'aide de ces relations.


j'ai essayé de séparer les n pairs et impairs dans le but de trouver une relation entre des et des
j'obtiens :
pour les n pairs je pose n=2p
(1)
pour les n impairs je pose n=2p+1
(2)
à partir de (1) j'obtiens :
(3)
et à partir de (2):
(4)

à partir d'ici je suis bloqué...

je suppose qu'à partir de (3) je devrais trouver :

puis de (4):

mais je n'y arrive pas et de coup je pense que ce n'est pas ça.



Kolis
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Re: développement en série entière

par Kolis » 20 Mai 2018, 11:16

Bonjour !
Je n'ai pas vérifié tes formules mais :


Méthode analogue pour la somme des puissances paires.

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Ben314
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Re: développement en série entière

par Ben314 » 20 Mai 2018, 16:19

Salut,
webosfredo a écrit:
(*) <= Jusque la , c'est "presque" bon : il manque juste le très important "pour tout entier "
j'ai essayé de séparer les n pairs et impairs <= Ben évidement qu'il faut faire ça vu que tu as une relation de récurrence qui marche "de deux en deux".
dans le but de trouver une relation entre des et des <= Là je comprend pas ce que tu veut dire : une relation de récurrence, tu en as déjà une (*) qui donne un terme en fonction de celui 2 crans avant et je vois franchement pas comment tu peut espérer en déduire une relation entre un terme et le précédent
j'obtiens :
pour les n pairs je pose n=2p
(1) <= Là, c'est n'importe quoi, mais je suppose que c'est une faute de frappe et qu'il faut lire 2p+2 en indice à gauche.
pour les n impairs je pose n=2p+1
(2) <= O.K.
à partir de (1) j'obtiens :
(3) <= FAUX
et à partir de (2):
(4) <= Tout aussi FAUX
Sur un truc à la maison (ou on a plus de temps), le mini du mini dans un cas pareil, c'est d'écrire en fonction de et (grâce à la formule (*)) histoire de voir si la formule générale qu'on pense avoir trouvé n'est pas fausse (et là, ben elle est fausse...)

Normalement, si tu te goure pas, tu devrait trouver que l'e.v. des solutions de ton équa-diff est engendré par la fonction et une autre fonction qui ne s'exprime pas avec les fonction élémentaires vu qu'elle fait intervenir une primitive de .
Modifié en dernier par Ben314 le 20 Mai 2018, 16:31, modifié 5 fois.
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mathelot
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Re: développement en série entière

par mathelot » 20 Mai 2018, 16:30

On peut résoudre l'équation pour valider a posteriori les calculs de série entière:

où K1 et K2 sont deux constantes d'intégration
et est une primitive de
Modifié en dernier par mathelot le 20 Mai 2018, 23:44, modifié 1 fois.

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Re: développement en série entière

par Ben314 » 20 Mai 2018, 22:10

@capitaine nuggets (j'ai pas réussi à te répondre par m.p. : soit y'a un problème avec ta boite, soit j'ai m...)

Lorsque tu as une équation différentielle linéaire d'ordre N dont tu as déjà trouvé une solution y1 (miraculeusement ou par exemple comme ici avec des séries entières), alors tu pose y=z.y1 (="variation de la constante) que tu réinjecte dans l'équation de départ de façon à faire diminuer le degré de 1 (mais avec une primitive à calculer en plus).
Ici, partant de y''+6xy'+6y=0, si tu pose y=z.exp(-3x^2), ça te donne z''-6xz'=0 donc z'=lambda.exp(3x^2).
Sauf que x->exp(3x^2), y'a pas de primitive parmi les "fonctions usuelles", mais on peut quand même vérifier que, si F(x) est une primitive de x->exp(3x^2) alors la fonction y2:x->F(x).exp(-3x^2) est bien la "deuxième" fonction obtenue avec la méthode des séries entières (celle qui est impaire et qui correspond à a0=0; a1=1)
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Re: développement en série entière

par capitaine nuggets » 20 Mai 2018, 22:26

Ah ok, merci de l'indic', j'avais beau essayer de triturer la série restante, j'avais pas pensé àla variation de la constante, merci ;)
- Merci de lire attentivement le règlement du forum.
- Comment écrire de belles formules mathématiques.
- Comment joindre une image ou un scan.



webosfredo
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Re: développement en série entière

par webosfredo » 23 Mai 2018, 00:10

Bon..
Tout d'abord merci à tous pour votre aide...
J'ai donc repris les conseils de Ben et réécrit le relation de récurrence de an.
je trouve:
côté pair

pour et






je ne suis pas sûr de pouvoir simplifier par 2 pour obtenir :




côté impairs
pour et






j'obtiens ensuite la solution de l'équation différentielle comme étant la somme des deux series entières :


je passe la démo sur le rayon de convergence

Ensuite l'énoncé de l'éxo donne :
et
j'en conclus que et
et par suite :
qui est le DSE de
La dernière question de l'éxo donne :
et
d'où et
et :

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Re: développement en série entière

par Ben314 » 23 Mai 2018, 12:59

webosfredo a écrit:
je ne suis pas sûr de pouvoir simplifier par 2 pour obtenir :
Est ce que réellement tu pense que, pour , la fraction
se "simplifie" en ?
Bref, les "règles de simplification", c'est pas des "formules magiques" sorties d'un chapeau, mais des truc on ne peut plus évident naïvement parlant du style a/b=(ka)/(kb) : s'il y a un certain nombre (a/b) de bonbons (a) par personnes (b), alors avec k fois plus de personnes, pour qu'il y ait autant de bonbon par personne, il faut k fois plus de bonbons. épicétout.
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Re: développement en série entière

par Ben314 » 23 Mai 2018, 13:12

Et ici, c'est gère mieux :
webosfredo a écrit:

Ce que tu as au dénominateur de , c'est qui n'est bien évidement pas égal à .

Déjà, ta "formule générale" (en rouge), si tu prend p=2, ben ça donne absolument le cas p=2 (en bleu) que tu as écrit juste au dessus !!!!
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Re: développement en série entière

par Ben314 » 23 Mai 2018, 13:36

Vu que tu as l'air dêtre complètement paumé sur la façon de s'y prendre avec des factorielles, je te le fait pour le cas des impairs (plus compliqué que les pairs) :

On sait donc que, pour tout entier , on a et on en déduit que :

Formule que l'on peut (que l'on doit ?) démontrer proprement par récurrence, mais le mini du mini, c'est bien évidement que cette formule "colle" avec les cas particulier donné au début !!!!
Ensuite, , c'est sûrement pas la factorielle de quoi que ce soit, vu que c'est pas un produit d'entiers successifs.
Sauf que LA astuce à avoir vu au moins une fois, c'est que :

et que


qui ne correspond à aucune série entière "classique" (mais qui, bien heureusement, "colle" avec les cas particuliers de déjà évalués au dessus)
Et je t'inciterais plus que fortement à démontrer directement ce dernier résultat par récurrence en partant de la formule

Remarque : Le résultat sous la forme bleue est plus "concis" à écrire que celui sous la forme rouge (et permet par exemple d'utiliser la formule de Stirling pour avoir une approximation de ), mais il faut bien comprendre qu'il est plutôt "plus compliqué" en terme d'opérations que celui en bleue (par exemple pour un calcul explicite de à la main ou à la machine).
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Re: développement en série entière

par mathelot » 26 Mai 2018, 18:36

On a deux formules pour la partie impaire de f.
On va les identifier.
On note par définition





par produit de Cauchy:


en sautant deux étapes de calculs , on obtient au final:

(1)

d'autre part, avec les séries:
les coefficients de
avec la relation:


donnent

(2)
en identifiant le terme général de (1) et (2):
on obtient l'identité:


pour tout entier naturel n.

que j'aimerai bien voir démontrer ...

 

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