Polynôme de la restriction d'un endomorphisme

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
gaia38
Membre Naturel
Messages: 54
Enregistré le: 28 Juil 2015, 22:54

Polynôme de la restriction d'un endomorphisme

par gaia38 » 23 Mai 2018, 19:06

Bonjour,
Pour contextualiser, je planche en ce moment sur la démonstration de l'équivalence entre

f et g commutent
et
f et g sont codiagonalisable (c'est à dire possèdent la même base de diagonalisation)

(en supposant au départ qu'ils sont tout deux diagonalisable)

Pour cela j'utilise un polynôme annulateur (P) de g (qui est le polynôme minimal il me semble) et je veux montrer que si F est un sev stable par g alors P(restriction de g à F) = 0 aussi.
La seule idée qui me vient à l'esprit est la représentation matricielle de cette restriction (avec les blocs de zéros) mais je ne sais pas du tout comment l'utiliser.

Toute aide serait grandement appréciée, merci d'avance.



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 21:53

Re: Polynôme de la restriction d'un endomorphisme

par Ben314 » 23 Mai 2018, 21:29

Salut,
Déjà et pour commencer,
gaia38 a écrit:... f et g sont codiagonalisable (c'est à dire possèdent la même base de diagonalisation)
C'est évidement pas LA mais UNE.

Ensuite, effectivement, c'est pas con d'utiliser la notion de polynôme minimal (ou tout autre polynôme annulateur) de façon à pouvoir utiliser le résultat classique suivant :
- Un endomorphisme (en dimension finie) est diagonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé et à racines simples.
Résultat qui implique en particulier que, si f est un endomorphisme diagonalisable de E (E de dim. finie) et si F est un s.e.v. de E tel que alors la restriction de f à F (à la source et au but) est un endomorphisme diagonalisable de F (car tout polynôme annulateur de f est évidement aussi un polynôme annulateur de )

Ensuite, si tu as deux endomorphismes f et g de E (de dim finie) tout les deux diagonalisables et qui commutent, il te suffit d'écrire E comme somme directe des sous-espaces propres de f (faisable vu que f est diagonalisable), d'utiliser le fait que f et g commutent pour montrer que chacun de ces s.e. propre est stable par g, puis d'en déduire à l'aide du résultat précédent que les restrictions de g à chacun des s.e.v. propres de E sont diagonalisables.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

gaia38
Membre Naturel
Messages: 54
Enregistré le: 28 Juil 2015, 22:54

Re: Polynôme de la restriction d'un endomorphisme

par gaia38 » 24 Mai 2018, 05:59

Oui en effet la suite je l ai déjà faite mais c est juste prouver que f|F possède le même polynome annulateur qui me semble pas évident, enfin je vois pas pourquoi c est évident.

Merci de ta réponse.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 21:53

Re: Polynôme de la restriction d'un endomorphisme

par Ben314 » 24 Mai 2018, 07:01

Ben c'est complètement évident :
Dire que le polynôme P est un polynôme annulateur de f, ça signifie que P(f)=0 (l'endomorphisme nul de E), c'est à dire que pour tout x de E, on a P(f)(x)=0 (le vecteur nul de E) et donc évidement on a P(f)(x)=0 pour tout x de F (qui peut le plus peut le moins !!!) ce qui signifie que P()=0 (l'endomorphisme nul de F)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

gaia38
Membre Naturel
Messages: 54
Enregistré le: 28 Juil 2015, 22:54

Re: Polynôme de la restriction d'un endomorphisme

par gaia38 » 24 Mai 2018, 19:57

Ah oui en effet j arrivais pas à voir cette évidence car je pensait à la forme de la matrice de la restriction pas à ce que voulais réellement dire une application nulle, merci beaucoup.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : novicemaths et 70 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite